jueves, octubre 20, 2011

[Mecánica Clásica I] Principio fundamental de la dinámica

{ 2011 10 19 }
[Mecánica Clásica I] Principio fundamental de la dinámica

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Tras explorar las bases de la cinemática en los tres primeros capítulos del bloque, en el último introdujimos un concepto fundamental, el de fuerza, y hablamos sobre sus propiedades básicas. Además, mencionamos los tres principios de la dinámica newtoniana y nos dedicamos en más profundidad al primero de los tres, el principio de inercia establecido por primera vez por Galileo Galilei y refinado por Isaac Newton. El capítulo de hoy estará dedicado íntegramente a enunciar el segundo principio de la dinámica y explorar sus consecuencias sobre el mundo que nos rodea, además de utilizarlo para definir la unidad de fuerza.

Pero antes, como siempre, la solución al desafío de la última entrada.

Solución al desafío 4 – ¿Tienes un movimiento uniforme?

En el desafío del capítulo anterior planteábamos tres preguntas cualitativas:

En primer lugar, ¿qué fuerzas no despreciables actúan sobre ti ahora mismo?

Como pasa tantas veces en Física, no hay una única respuesta válida, puesto que “despreciable” es siempre un término relativo, que depende de cómo de precisos queramos ser y cuál es el contexto… sí, sí, ya lo sé, una pregunta ambigua, pero la intención era simplemente hacerte pensar. Veamos una posible respuesta razonable.

Si estás de pie o sentado –y, si no lo estás, ¿qué diablos estás haciendo mientras lees esto?– sobre ti actúan dos fuerzas bastante considerables: una es tu peso, es decir, la atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre ti; en el capítulo anterior vimos que se trata de una de las cuatro interacciones fundamentales, y la notas porque la Tierra es gigantesca (no la notas, por ejemplo, con tu reloj ni tus zapatos).

Evidentemente, si sólo existiera esa fuerza “no despreciable”, te hundirías hacia el centro de la Tierra como una piedra en un estanque, con lo que debe haber algo más. Esa segunda fuerza es la que ejerce la silla sobre tu trasero, el suelo sobre tus pies o lo que sea que te sostiene ahora mismo, y que básicamente soporta tu peso. Si recuerdas las cuatro interacciones fundamentales, en este caso se trata de la fuerza electromagnética –la repulsión entre electrones del suelo/silla/etc. y los de tu cuerpo, en este caso–.

Desde luego, hay más fuerzas que actúan sobre ti: la presión atmosférica es una de ellas, aunque no la notemos salvo cuando cambia bruscamente. Sin embargo, ahora mismo esta fuerza ejercida por el aire no afecta a tu movimiento. También sufres más interacciones gravitatorias: con la Luna, el Sol, tus calcetines y la vecina del cuarto. Pero estas otras fuerzas también son suficientemente pequeñas como para que podamos ignorarlas.

En segundo lugar, ¿te encuentras ahora mismo realizando un movimiento uniforme? ¿por qué sí o por qué no?

La respuesta estricta es que no, no estás realizando un movimiento uniforme. Ya hablamos del carácter relativo del movimiento al empezar el bloque y de las razones por las que hablar de reposo o movimiento absolutos es absurdo, y al hacerlo mencionamos ya varios movimientos no uniformes que realizas ahora mismo: la Tierra gira sobre su eje y tú con ella, alrededor del Sol y tú con ella, alrededor del centro de la Vía Láctea y tú con ella, etc. De modo que realizas una superposición de movimientos curvilíneos que no son, evidentemente, una línea recta con velocidad constante.

Si lo piensas, esto significa que la fuerza neta sobre ti ahora mismo no puede ser nula, algo que raras veces se menciona en el colegio. ¡Recuerda el primer principio! Si la fuerza sobre ti fuera cero, realizarías un movimiento uniforme, pero no lo realizas, luego debes estar sufriendo una fuerza total no nula. Por ejemplo, debido al giro de la Tierra, tu peso cambia de dirección constantemente –aunque muy despacio, claro– y “caes” con el suelo según la Tiera gira.

En tercer lugar, ¿sería posible considerar una respuesta diferente a la pregunta anterior dependiendo de cuáles fuesen nuestras necesidades al estudiarte como cuerpo móvil?

Pues hombre, claro: todos los efectos que he mencionado y que hacen que no realices verdaderamente un movimiento uniforme son leves y se trata de giros que tardan bastante en realizarse. Además, muchos objetos a tu alrededor realizan exactamente los mismos giros, con lo que si queremos estudiar tu movimiento en una habitación, sería absurdo considerar esas desviaciones del movimiento uniforme.

¿Cuándo podemos entonces considerarte realizando un movimiento uniforme sin tener que preocuparnos de lo demás? Cuando se trate de tiempos relativamente cortos y no te estés moviendo distancias tan grandes que el giro sea diferente para ti y los objetos que te rodean. Por ejemplo, podemos olvidarnos de estas sutilezas si queremos ver si lanzas una pelota de baloncesto y logras encestar, pero no podemos si queremos estudiar el vuelo de un avión que va de Ciudad del Cabo a Berlín.

La moraleja es, como casi siempre, que las herramientas conceptuales de la Física son precisamente eso, y debemos utilizar las más simples que sirvan a nuestro propósito –que suele ser tratar de predecir cómo va a comportarse un sistema físico en el tiempo–.


Segundo principio de la Dinámica – Principio fundamental

Como recordarás, el primer principio era algo cualitativo: si la fuerza neta es nula, el movimiento es uniforme. El segundo responde a la pregunta inmediata que surge al comprender el primer principio — bien, vale, si la fuerza total es cero, el movimiento es siempre igual, pero ¿y si no? No basta con decir “Pues si no, el movimiento cambia”, porque cuando no había cambio no había más que hablar, pero ahora sí: ¿cómo cambia? ¿cuánto cambia? ¿de qué depende la magnitud del cambio?

De ahí que el segundo principio sea cuantitativo, y de una importancia tan enorme que recibe el nombre de principio fundamental de la dinámica. Como hicimos con el primero, permite que antes de explicarlo nos quitemos juntos el sombrero y disfrutemos de su enunciado original en palabras de Sir Isaac Newton, padre de la criatura:

Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Ley II: El cambio en el movimiento es siempre proporcional a la fuerza motriz empleada, y se dirige en la dirección de la línea recta definida por la fuerza.

¿Qué quiere decir este segundo principio en términos más modernos? Hay varias claves en él –y de hecho la gente lleva siglos discutiendo sobre lo que Newton quería decir exactamente con sus palabras–, de modo que la cosa tiene matices, pero vayamos por partes.

En primer lugar, como dijimos antes, esta segunda ley trata de contestar a la pregunta de qué le pasa al movimiento cuando la fuerza neta no es nula: cambia, pero ¿cómo y cuánto? Según Newton –y todos nuestros experimentos, o hubiéramos mandado este principio a freír espárragos hace mucho tiempo–, la intensidad de ese cambio de movimiento es proporcional a la fuerza neta. Pero, en los términos que empleamos en este bloque, ¿qué quiere decir “la intensidad del cambio de movimiento”? Simplemente la aceleración. De manera que podemos expresar esta primera clave del principio fundamental así:

La aceleración es proporcional a la fuerza neta que sufre un cuerpo.

Se trata de algo bastante intuitivo: si tú empujas algo con una fuerza y yo lo hago con el doble de fuerza, yo produzco el doble de aceleración que tú. Si te fijas, este enunciado es además perfectamente coherente con el primer principio: como fuerza neta y aceleración son iguales, cuando una es cero, la otra también lo es, de modo que reducimos esto al primer principio otra vez.

¿Para qué sirve entonces el primer principio?

Si el primer principio de la Dinámica no es más que un caso particular del segundo –cuando la fuerza neta es cero, la aceleración es cero y por tanto el movimiento es uniforme–, ¿por qué no olvidar entonces el primer principio y quedarnos con el más general de los dos?

Se trata de una pregunta bastante razonable (o al menos eso espero, porque yo me la hice en cuanto me contaron el segundo principio), pero la respuesta es que el segundo principio parece una generalización del primero, pero no lo es, por mucho que en la práctica tratemos el principio de inercia como un caso particular del principio fundamental. ¡No lo es, aunque al principio cueste darse cuenta!

Antes de razonar por qué, para que no cierres la mente al razonamiento, piensa lo siguiente: Newton era un genio de primer orden, y enunció el primer principio explícitamente antes del segundo. ¿Crees que él era tan burro que no veía que la proporcionalidad entre fuerza y cambio de movimiento tiene como consecuencia matemática que la ausencia de una significa la ausencia del otro? ¡Estamos hablando de uno de los creadores del cálculo infinitesimal! Sin embargo, él no redujo los principios a dos, y el orden es el que es por una razón. ¿Por qué?

El primer principio establece la existencia de los sistemas de referencia inerciales, para los que se cumplen los otros dos. Este segundo principio no tiene por qué cumplirse para sistemas no inerciales, con lo que no sería posible enunciarlo sin definir, independientemente del principio, la condición que cumplen esos sistemas.

La única manera de salvar ese obstáculo sería hacer la segunda ley más larga y compleja, definiendo primero el movimiento uniforme y los sistemas inerciales en ausencia de fuerza, y luego la proporcionalidad entre fuerza y aceleración en esos sistemas inerciales… pero eso no es más que enunciar los dos primeros principios en uno, lo que no arregla nada y simplemente lía las cosas.

En otras palabras, el primer principio establece el marco de referencia en el que viven los otros dos. En la práctica son más empleados ellos que él, pero no podrían existir sin el colchón del primer principio y la existencia y definición de los sistemas inerciales.

De modo que un respeto para el principio de Galileo.

Sin embargo, observa que Sir Isaac afirma que fuerza y aceleración son proporcionales, no iguales. Hace falta tener en cuenta un factor más, un factor también bastante intuitivo. Si tú empujas varios objetos con la misma fuerza, no todos sufren la misma aceleración — los que tienen más masa sufren menos aceleración, los que tienen menos masa sufren más aceleración. La masa es precisamente el factor de proporcionalidad entre fuerza y aceleración.

Expresado en estos términos, si aplicas una misma fuerza a un objeto de 10 kg y a otro de 20 kg, el de 20 kg acelera la mitad que el de 10 kg, lo que podríamos escribir matemáticamente así:

a = Fn/m

O, como se hace más comúnmente, con la masa en el mismo miembro de la igualdad que la fuerza, como una ley de proporcionalidad como Dios manda:

Fn=m·a

Fíjate que pongo Fn simplemente para recordarte –no, no voy a repetirme con otro párrafo sobre el asunto– que lo importante, para conocer el estado de movimiento, es la fuerza neta, es decir, la suma de todas las fuerzas que sufre el cuerpo.

Podríamos escribir, por lo tanto, el segundo principio con palabras modernas y más o menos llanas de este modo:

La fuerza neta que sufre un cuerpo y su aceleración son proporcionales, y la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo.

Como digo, se trata de algo razonablemente intuitivo, que tal vez alguna de estas “lecturas alternativas” nada rigurosas te ayuden a asimilar: cuanto más ligero es un cuerpo, menos cuesta modificar su movimiento; cuanto mayor es la fuerza sobre un cuerpo, más modifica su movimiento; cuanto más masivo es un cuerpo, más cuesta pararlo si se mueve, o hacer que se mueva si está parado.

Me parece interesante además resaltar algo que mencioné en la introducción al bloque: este principio habla sobre lo que le sucede a un cuerpo que sufre fuerzas, y no habla de cómo se ejercen esas fuerzas ni de cuál es su origen, ya que de eso se ocupa la rama de la Física que tenga que ver con la fuerza de que se trate en cada momento. Newton no se preocupa aquí de esos detalles ni de las diferencias entre las fuerzas, sino de cuáles son sus consecuencias universales.

Masa inercial y masa gravitatoria

Si has leído antes sobre estas cosas, te darás cuenta de que hablo simplemente de “masa”, y no hago distinción entre masa inercial y masa gravitatoria. Ni siquiera menciono el asunto fuera de este cuadro de texto, porque no es esencial para comprender el capítulo, pero ¿qué relación hay entre ellas?

Conceptualmente hablando, ambos términos provienen de campos distintos: la masa inercial se denomina así porque proporciona la inercia a los cuerpos, como se comprueba en este segundo principio. Un cuerpo que sufre, bajo la acción de una misma fuerza, la mitad de aceleración que otro, tiene el doble de masa inercial.

La masa gravitatoria proviene de la atracción mutua entre todos los cuerpos con masa: es una medida, no de la inercia del cuerpo, sino de la intensidad de los efectos gravitatorios que produce y sufre. Como ves, se trata de fenómenos distintos — inercia por un lado, gravitación por el otro.

Sin embargo, hay una manera de comprobar la relación entre ambos: al dejar caer un cuerpo sometido únicamente a la fuerza gravitatoria, ¿qué aceleración sufre? Por un lado, si aumentamos la masa inercial del cuerpo, aumenta la fuerza que sufre hacia abajo; por otro lado, al aumentar su masa gravitatoria disminuye la aceleración que sufre.

De modo que hay dos opciones: o un efecto contrarresta al otro y la aceleración se mantiene constante al variar la masa, es que ambas (masa inercial y gravitatoria) son proporcionales –e iguales, si elegimos las mismas unidades de medida para ambas–, mientras que si notamos una variación en la aceleración, ambas magnitudes no son proporcionales y no existe equivalencia entre ambas.

Absolutamente todos los experimentos que hemos realizado hasta el momento muestran la proporcionalidad entre ambas masas, con una precisión de una parte entre un billón. Dado que medimos ambas en kilogramos, estos experimentos apoyan, hasta el momento, la equivalencia entre ambas masas — algo denominado principio de equivalencia, que tiene una forma débil (clásica) y una fuerte (relativista).

De ahí que, salvo que uno quiera hilar muy fino, hablar de “masa” es suficiente, sin necesidad de distinguir entre dos cosas que no hemos logrado diferenciar con ningún experimento, aunque no haya nada que exija, en nuestra concepción del Universo, que deban ser iguales por narices.

Una vez enunciado el segundo principio, ya que disponemos de una herramienta cuantitativa para calcular fuerzas sobre objetos reales sabiendo la aceleración que deseamos impartirles, podemos hablar por fin de las unidades de la fuerza y hacernos una idea de lo que significan. A ver si adivinas en honor a quién recibe nombre la unidad de fuerza… ¡sorpresa!


Unidad de fuerza – El newton

No podía ser de otra manera, claro. La unidad de fuerza recibe el nombre de newton (N) en honor a Isaac Newton, y a riesgo de que me pegues un pescozón, te recuerdo que el nombre completo debe siempre ir en minúscula (newton), mientras que el símbolo tiene mayúscula (N) y no lleva ningún punto detrás porque no es una abreviatura.

Pedanterías aparte, aquí tienes la definición, que es una simple lectura del principio fundamental:

Un newton (N) es la fuerza neta necesaria para producir una aceleración de 1 m/s2 sobre una masa de 1 kg.

Como ves, es el resultado de hacer m = 1 kg y a = 1 m/s2 –es decir, unidad de masa y unidad de aceleración– en el segundo principio. Pero, como siempre nos preguntamos aquí, ¿qué significa exactamente que una fuerza sea de 1 N? ¿es muy grande, pequeña o ni una cosa ni la otra?

La mejor manera de digerir “cuánto es” un newton es, por supuesto, con ejemplos de la vida cotidiana. Veamos unos cuantos:

Para sostener en la mano una manzana hace falta realizar una fuerza de aproximadamente 1 newton.

Para que una persona de 80 kg acelere a 6 m/s2 hace falta una fuerza de 480 newtons.

Cada cohete de lanzamiento del transbordador espacial realiza, en algunos momentos, una fuerza de unos 12 500 000 N — sí, sí… más de doce millones de newtons.

Como puedes ver, casi todas las unidades en Mecánica son bastante modestitas: 1 kg, 1 m/s2 y 1 N son todas cosas muy discretas. De ahí que sean muy utilizados múltiplos de ellas en muchos problemas reales de ingeniería y similares. Por ejemplo, la fuerza de los cohetes que hemos mencionado antes se expresa más frecuentemente como 12,5 meganewtons (MN).


Cantidad de movimiento

Existe una forma alternativa del segundo principio que resulta utilísima para atacar el tercero (y muchos problemas en Mecánica), además de ser, en mi opinión, más elegante matemáticamente. Sin embargo, este enunciado alternativo requiere de un concepto nuevo; lo bueno es que ese concepto es, una vez más, muy útil en muchas ocasiones, de modo que creo que merece la pena pararnos en él.

Se trata del momento lineal o cantidad de movimiento (porque de las dos formas se puede llamar, aunque yo prefiero la segunda); es un concepto bastante antiguo y empleado por Descartes, Galileo y el propio Newton. De hecho, el nombre que usaba el inglés para esta magnitud es el de quantitas motus, cantidad de movimiento, una de las dos razones por las que me gusta más ese nombre que el de momento lineal –la otra es que hay muchos “momentos” en Física, tantos que la palabra se desdibuja un poco–.

Este concepto combina masa y velocidad y se define de un modo bien simple:

La cantidad de movimiento de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad.

Es, por lo tanto, una magnitud vectorial (porque lo es la velocidad), y contiene una especie de mezcolanza de información entre masa y velocidad: puede ser grande si lo es la masa o si lo es la velocidad, y viceversa. No tiene unidades propias, de modo que se utilizan las de las otras dos magnitudes: kilogramos por metro partido por segundo, o kg·m/s.

¿Por qué definir esta nueva magnitud, si ya teníamos masa y velocidad, ambas cosas muy intuitivas? ¿Qué aporta la cantidad de movimiento? La respuesta es que permite expresar una característica fundamental del Universo de un modo muy conciso –algo que veremos en el siguiente capítulo del bloque–, además de ayudar a resolver problemas de la vida real con una simplicidad muy grande. Pero vayamos por partes.

Para comprender qué significa realmente la cantidad de movimiento, permite que ponga un ejemplo. Supongamos que hacia ti se dirigen dos objetos a la misma velocidad, 50 m/s, y que debes detenerlos. Uno es un garbanzo, el otro es un camión. ¿Te costará lo mismo en ambos casos?

Ya sé que la respuesta es obvia, pero lo es precisamente porque la velocidad no es suficiente como fuente de información sobre el estado de movimiento de un objeto. El garbanzo y el camión tienen exactamente la misma velocidad, pero el camión tiene “más” de algo, y ese algo no es velocidad: el movimiento del camión es más persistente, más difícil de detener. El camión tiene más cantidad de movimiento, dado que su masa es mucho mayor que la del garbanzo, con lo que la velocidad se multiplica por una masa mucho más grande, se “amplifica”.

Como ves, la cantidad de movimiento es algo así como la inercia que lleva en una dirección determinada: la capacidad de empujar en esa dirección, y la dificultad de modificar ese movimiento de un modo notable. Por razones que desconozco, suele representarse con la letra p, de modo que ése será el símbolo que utilicemos aquí.

Como decía antes, la razón de introducir un concepto nuevo es la elegancia con la que nos permite expresar los principios de la Dinámica, de manera que hagamos justamente eso: re-enunciemos el segundo principio de Newton en términos de la cantidad de movimiento.


El principio fundamental en términos de cantidad de movimiento

Antes de razonar juntos y reescribir la segunda ley en términos de p, permite que intente convencerte de que la cantidad de movimiento está “escondida” dentro de este segundo principio incluso en la forma en la que lo enunciamos antes.

El segundo principio, como hemos visto, afirma que la fuerza total es igual a la masa del cuerpo por la aceleración producida; sin embargo, vimos en el capítulo correspondiente del bloque que la aceleración no es más que la variación de la velocidad en el tiempo. De manera que en el enunciado de la segunda ley aparecen la masa y la velocidad, aunque la segunda esté “escondida” dentro de la aceleración. Sólo nos hace falta desenterrarla, de modo que hagamos exactamente eso.

En vez de decir que la fuerza es igual a la masa por la aceleración, podemos decir explícitamente: la fuerza es igual a la masa por el cambio de velocidad del cuerpo cada segundo. Y ahí tenemos, ya descubierta en su escondite, la velocidad. Como ves, estamos mencionando ya la masa y la velocidad, justo los dos conceptos que constituyen la cantidad de movimiento.

Ahora bien, si suponemos que la masa del cuerpo no cambia –algo que puede suceder si se desprende de parte de sí mismo, como en el caso de un cohete, pero que no nos interesa ahora mismo–, decir “la masa por el cambio de velocidad” es lo mismo que decir “el cambio de la masa por la velocidad”. Utilizando una especie de pseudo-fórmulas, si la masa no cambia,

masa · cambio de [velocidad] = cambio de [masa · velocidad]

¡Pero el producto de la masa por la velocidad es precisamente la cantidad de movimiento que hemos definido antes! De modo que es lo mismo decir “masa por el cambio de velocidad” que “cambio de la cantidad de movimiento”, con lo que ya tenemos nuestro concepto introducido en el segundo principio. Puesto que la fuerza neta era exactamente el producto de la masa por el cambio de velocidad cada segundo, podemos enunciarlo en términos de la cantidad de movimiento así:

La fuerza neta sobre un cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento cada segundo.

Una manera que suena más abstracta y menos intuitiva que la anterior pero que es realmente más elegante; además, como veremos en el próximo capítulo del bloque, nos permite expresar uno de los dos principios de conservación más importantes que conocemos de una manera extraordinariamente concisa y bella — ésa es precisamente la razón de que introduzca algo tan abstracto en este capítulo, en vez de simplemente enunciar el principio fundamental en términos de aceleración.

A ese principio de conservación dedicaremos el siguiente artículo.


Ideas clave

Para seguir con el tercer principio sin problemas, debes tener claros los siguientes conceptos:

El principio fundamental de la Dinámica o segunda ley de Newton afirma que la fuerza neta que sufre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleración del cuerpo.

La unidad de fuerza es el newton (N) – Un newton es la fuerza neta que produce una aceleración de 1 m/s2 sobre un cuerpo de 1 kg de masa.

La cantidad de movimiento de un cuerpo es igual al producto de su masa por su velocidad. Se trata por tanto, como la velocidad, de una magnitud vectorial.

La cantidad de movimiento no tiene unidad con nombre propio, sino que se mide en kilogramos por metros partido por segundos (kg·m/s).

Es posible expresar el principio fundamental de la Dinámica en términos de la cantidad de movimiento: la fuerza neta que sufre un cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento cada segundo.


Hasta la próxima…

A estas alturas del bloque, aunque sea introductorio, estás ya preparado para realizar algunos cálculos “del mundo real”, de modo que hagamos justamente eso — un pequeño problema numérico con datos tomados de la realidad.

Ferrari Testarossa

Un Ferrari Testarossa tiene una masa aproximada de 1 500 kg, y es capaz de pasar de 0 a 30 m/s en unos 5 segundos. Si suponemos que la fuerza neta que sufre el coche es simplemente la que realiza el motor, ¿qué fuerza realiza el motor del Testarossa en esa aceleración?

Como pregunta adicional, ¿qué cosas no estamos teniendo en cuenta al realizar este cálculo?

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