domingo, octubre 02, 2011

Las ecuaciones de Maxwell – Ley de Gauss para el campo magnético

Las ecuaciones de Maxwell – Ley de Gauss para el campo magnético


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Hace unas semanas, tras la introducción histórica correspondiente, nos merendamos juntos la primera ecuación de Maxwell. Como espero que recuerdes, en ella se establecía el campo eléctrico como la perturbación creada por la mera existencia de cargas eléctricas: la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad de carga alrededor de un punto determinado. Si esto te suena a chino mandarín, es mejor que leas aquel artículo antes de seguir con éste, porque doy por sentado que comprendes cualitativamente lo que es la divergencia, que aparecerá de nuevo hoy –la explicación de la divergencia en el anterior artículo es lo que permite que el de hoy sea relativamente breve–.
La segunda ecuación, a la que nos dedicaremos hoy, es matemáticamente muy similar a la primera, aunque más sencilla. Ejemplifica lo maravilloso de las ecuaciones de Maxwell: la profundidad en el significado con una concisión bellísima, en este caso, de una forma extrema. Como hicimos con la primera ecuación, aquí la tienes en todo su minúsculo esplendor:
Ley de Gauss para el campo magnético
Puedes considerarla una especie de prueba: con un mínimo de ayuda, si asimilaste de veras el artículo anterior, la ecuación de hoy no debería intimidarte lo más mínimo. Eso sí, como digo, algunas de sus consecuencias son interesantes y no tan simples como la propia ecuación, que es una especie de “negativo” de la primera en varios aspectos. Pero, como hicimos con aquella, desgranémosla poco a poco para luego interpretarla como un todo.

Al igual que en la primera ecuación, nos encontramos con el símbolo nabla una vez más (el “arpa hebrea”, ¿recuerdas?), pero esta vez está aplicado a una magnitud diferente. Al igual que E representa el campo eléctrico, del que hablamos en la primera ecuación, la letra B representa el campo magnético, parece ser que en honor al científico francés Jean-Baptiste Biot, uno de los pioneros en el estudio de la relación entre electricidad y magnetismo –y cuyo nombre aparecerá de nuevo en esta mini-serie, por supuesto–. No es ésta la serie en la que profundizar en la naturaleza del campo magnético, pero se trata de algo con lo que todos estamos familiarizados hasta cierto punto, a través al menos de los imanes.
De modo que, como puedes ver, esta ley describe el comportamiento del campo magnético a través de su divergencia, ∇·B, del mismo modo que la anterior hacía lo propio con la divergencia del campo eléctrico, ∇·E. Como recordarás, la divergencia indica dónde nacen y mueren las líneas de campo: si es nula, no pasa una cosa ni la otra, si es positiva nacen más líneas de las que mueren y si es negativa mueren más de las que nacen. Así, en el caso del campo eléctrico, todo dependía del signo de la carga eléctrica en el lugar que estuviéramos mirando.
Pero ¿qué hay del campo magnético? ¡No hay nada a la derecha del igual! El significado literal de esta ley de Gauss para el campo magnético, por lo tanto, es clarísimo: las líneas del campo magnético no nacen ni mueren en ninguna parte de manera neta. Esto no depende de nada, ni es diferente para cada punto del espacio como sucedía con el eléctrico, sino que es una propiedad ineludible del campo magnético en todo lugar: las líneas de campo magnético no tienen principio ni fin.
Las diferencias entre la primera ecuación y ésta son por tanto, a pesar de la similitud matemática, enormes. Para empezar, la importancia de cada una se debe justo a cosas opuestas: la ley referida al campo eléctrico nos da una especie de “definición positiva” del campo eléctrico a través de la propiedad fundamental que tiene, el hecho de aparecer como consecuencia de la existencia de cargas eléctricas. Como vimos en el artículo anterior, aplicándola es posible “dibujar” el campo eléctrico creado por las cargas.
Sin embargo, esta segunda ecuación es una especie de “definición negativa” del campo magnético. ¿Qué sabemos de su comportamiento tras leer esta ecuación? Justo lo que no hace. Esta ecuación no describe la causa del campo magnético, ni cómo calcularlo en ninguna parte: simplemente sabemos “cómo no es”. Desde luego, posteriormente veremos otros principios que sí determinan de forma “positiva” el comportamiento del campo magnético, pero no hoy.
Gráficamente, esta segunda ecuación nos dice algo muy conciso, pero fundamental, sobre las líneas del campo magnético, y que si comprendiste el concepto de divergencia en el artículo anterior debería sonarte razonable: dado que su divergencia es nula y que, por tanto, el número de líneas que entran en cualquier región es siempre igual al número de líneas que salen, las líneas de campo magnético son siempre cerradas. No tienen principio ni fin: si sigues el camino de una de ellas, nunca llegarás a un destino, y si vas hacia atrás para encontrar su comienzo, nunca lo encontrarás. Como digo, es información esencial, pero no es mucho con lo que estudiar este campo.
¿Quiere esto decir que la ley de Gauss para el campo magnético no es interesante? ¡Nada más lejos de la realidad! Exploremos juntos, en primer lugar, su significado más profundo. Aunque nos queden por ver dos ecuaciones, creo que es evidente que esta ley no dice que no exista el campo magnético ni fuentes que lo produzcan — dice algo más sutil, que creo que se comprende mejor contraponiéndolo, una vez más, a la información de la ecuación anterior sobre el campo eléctrico.
La ley de Gauss para el campo eléctrico nos decía que existe algo de donde nacen las líneas de campo eléctrico –las cargas positivas– y algo donde van a morir esas líneas de campo eléctrico –las cargas negativas–. Podríamos pensar, aunque suene un poco retorcido, que existen dos caras del campo eléctrico: la “positiva” (donde nacen líneas) y la “negativa” (donde mueren líneas), y es posible observar un punto determinado y ver que se produce un fenómeno o el otro.
Pero no es posible observar sólo una de las dos caras del campo magnético: sólo es posible ver ambas cosas a la vez. Las fuentes del campo magnético –sean las que sean porque, como digo, esta ecuación nos dice más bien lo que no es el campo magnético, no lo que es– son necesariamente “nacimiento y muerte” de las líneas de campo. Esta ecuación es la razón de que, cuando se dibujan las líneas de campo magnético generadas por cualquier cosa, se muestren siempre figuras como ésta:
Líneas de campo magnético de un imán
Crédito: Geek3 / Creative Commons Attribution-Sharealike License 3.0.
Como ves, todas las líneas son bucles cerrados, unos más pequeños y otros más amplios. Aunque sea un ejemplo absurdo, es como si cualquier producción de campo magnético fuera el lanzamiento de un bumerán: puedes lanzarlo, pero siempre acabará volviendo a ti. Ya sé que esto es absurdo porque las líneas de campo no representan el movimiento de nada: quiero decir que no puede tenerse una cosa sin la otra, a diferencia del campo eléctrico.
Que las líneas que salen de cualquier región siempre vuelvan a entrar en ella no quiere decir que no sea posible ver diferente comportamiento en las regiones de un cuerpo físico: en algunos puntos, las líneas salen hacia el exterior del cuerpo y en otros entran en él de nuevo. Por eso suele hablarse normalmente de polos magnéticos, como sucede en el caso de un imán. Tradicionalmente se llama polo norte al lugar por donde las líneas salen desde el interior del cuerpo hacia fuera y polo sur a la región por la que las líneas entran desde el exterior hacia dentro del cuerpo (observa que en este dibujo se han ocultado las líneas en el interior del cuerpo, pero están ahí aunque no se dibujen y son cerradas):
Líneas de campo magnético de un imán
Crédito: Geek3 / Creative Commons Attribution-Sharealike License 3.0.
Si te fijas en este imán, las líneas de B se parecen muchísimo a las líneas de E del artículo anterior cuando mostramos una carga positiva y una negativa cerca una de otra:
Líneas de campo de un dipolo eléctrico
Crédito: Geek3/Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 License).
En el caso del campo eléctrico, la carga positiva se llama a veces polo positivo y la negativa polo negativo, como en el magnético (aunque sin “norte” y “sur”), y un conjunto de dos cargas como el que ves aquí se denomina dipolo eléctrico, lo mismo que el dibujo de arriba representa un dipolo magnético. El polo positivo en el eléctrico se parece al polo norte, y el negativo al sur. Todo se parece mucho… pero hay una diferencia tremenda entre ambos casos, no en lo que ves ahora, sino en lo que puede conseguirse a partir de cada uno de los dos dipolos.
En el caso del dipolo eléctrico, no tenemos más que llevarnos una de las dos cargas del dipolo y dejar la otra, y en vez de un dipolo tenemos algo como lo que veíamos en la entrada anterior, de modo que las líneas tengan nacimiento pero no fin, o al revés. Nos hemos quedado con “la mitad del dipolo eléctrico”:
Líneas de campo eléctrico del protón
Pero, en el caso del dipolo magnético, ¿cómo hacemos lo mismo? La respuesta, por supuesto, es que no podemos. Hagamos lo que hagamos, la divergencia del campo magnético siempre es cero, luego nunca jamás podremos conseguir que sus líneas sean cerradas. Si cortásemos el imán por la mitad, por ejemplo, para intentar quedarnos con el polo norte en una mano y el polo sur en la otra, veríamos que cada uno de los dos pedazos es su propio “imancito” con su polo norte y su polo sur.
Dicho de un modo pedante, estas dos ecuaciones significan lo siguiente: existen dipolos eléctricos y dipolos magnéticos. Al quedarnos con “la mitad” de un dipolo eléctrico tenemos un monopolo eléctrico, es decir, una carga eléctrica, pero no existen los monopolos magnéticos. La existencia de una carga positiva no exige la de una carga negativa, pero la existencia de un polo norte sí exige la de un polo sur. ¡La divergencia es nula, señores!
Podemos incluso expresar esto de un modo más pedante todavía: una carga eléctrica no es más que un monopolo eléctrico, pero dado que no hay monopolos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell afirman que no existe la carga magnética. Fíjate en que, una vez más, no digo cuál es la fuente del campo magnético sino cuál no lo es, así es la naturaleza de este segundo principio.
Sin embargo, no podemos olvidar algo fundamental que mencionamos en la introducción a la mini-serie: las ecuaciones de Maxwell son la representación matemática de principios físicos, no verdades absolutas. Es perfectamente posible que sí existan los monopolos magnéticos –es decir, la carga magnética– y que simplemente no hayamos sido capaces de detectarla aún. El detector MoEDAL (Monopole and Exotics Detector At the LHC, Detector de monopolos y partículas exóticas en el LHC), en proceso de construcción –algunos detectores ya están instalados– tratará de hacer exactamente eso: detectar la presencia de monopolos magnéticos, si es que los hay.
Si los monopolos magnéticos existen, debemos introducir un nuevo término en esta ecuación de Maxwell, puesto que como hemos dicho antes, la existencia de monopolos es equivalente a la de la carga. De ser así, además de carga eléctrica existiría la carga magnética, y la divergencia de B no tendría por qué ser cero siempre. Al igual que en el caso del campo eléctrico, podríamos tener puntos en los que fuera positiva (si hay cargas magnéticas positivas), otros en los que fuera negativa (si las hay negativas) y otros en los que siguiera siendo nula. Esta segunda ecuación se parecería, por tanto, muchísimo a la primera (pongo ambas juntas para comparar):
Gaus eléctrico Gaus magnético con monopolos
Como ves, en el caso de la ley de Gauss para el campo magnético la constante es diferente que en la del campo eléctrico, pero es una cuestión de unidades –y hablaremos de la constante más adelante, porque no es importante ahora mismo–. He representado la densidad de carga magnética como la eléctrica, con la letra rho, pero con un subíndice m para diferenciarla de la carga eléctrica. Las ecuaciones son más simétricas que las actuales, y a algunos físicos les parece que tanta simetría y belleza es sospechosa — pero a veces los seres humanos tendemos a buscar simetrías donde no tiene por qué haberlas, con lo que esto no demuestra nada.
Puede parecer una tontería inventar una forma de la ecuación que incluye cosas que no hemos visto, pero no lo es tanto: no es posible detectar cargas directamente, sino su influencia sobre lo que las rodea, es decir, sus campos eléctrico y magnético. Puesto que el campo magnético en un lugar determinado es la suma del efecto de cargas eléctricas y, si existen, de cargas magnéticas, necesitamos predecir el efecto de las cargas magnéticas sobre el campo para poder encontrarlas si existen: si ese efecto se mide como predice la ecuación “modificada”, es que los monopolos magnéticos existen, y viceversa. Aunque también es posible, como siempre, que la modificación no sea tan leve y haya algo mucho más gordo que no estemos viendo, así es la ciencia.
Pero, olvidando por un momento la posible existencia de monopolos magnéticos –que son una simple hipótesis–, vuelve al principio del artículo y lee la ecuación de nuevo. ¿No es algo claro y meridiano? ¡Las líneas del campo magnético son siempre cerradas, por supuesto, luego su divergencia es siempre nula! Y decían que la ecuaciones de Maxwell eran complicadas…
En la cuarta entrega de la mini-serie nos dedicaremos a una ecuación más retorcida, la tercera de las cuatro: la ley de Faraday.

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