viernes, agosto 12, 2011

Las ecuaciones de Maxwell – Introducción histórica

Las ecuaciones de Maxwell – Introducción histórica






Hace mucho tiempo que tengo en la cabeza escribir una miniserie sobre las cuatro ecuaciones de Maxwell y, por fin, ahora que llegan las vacaciones, tengo tiempo y ganas de ponerme con ello; además, el artículo sobre el experimento de Hertz me ha despertado el gusanillo otra vez. Aunque veremos en qué acaba la cosa, mi intención es escribir un artículo introductorio con el contexto histórico y cuestiones generales –el que estás leyendo ahora mismo–, y luego otros cuatro, uno dedicado a cada ecuación, sin meterme en demasiados berenjenales ni extenderme demasiado (aunque, siendo realistas, casi siempre me extiendo más de lo que tengo planeado).
La idea no es estudiar cada ecuación en mucha profundidad: eso lo haremos, llegado el momento, en bloques como el de Electricidad o Magnetismo. Hacen falta además conceptos matemáticos avanzados que veremos también cuando corresponda. No, esto es algo diferente: es para quienes están hartos de ver las ecuaciones de Maxwell por aquí, por allí, que si son preciosas, que si patatín, que si patatán… pero claro, si no las has estudiado nunca en la Universidad, pues te quedas con cara de póquer. Mi intención es que, si estás en ese caso, salgas de aquí al menos sabiendo qué significa conceptualmente cada una de las cuatro ecuaciones, qué consecuencias tienen y cómo describen el mundo que vemos a nuestro alrededor.
Además, intentaré resarcir a quienes –como yo mismo– estudiaron las ecuaciones pero sin que se les explicase antes, cualitativamente, qué demonios significa cada una, antes de ponerse a hacer problemas con ellas y a calcular rotacionales y otras pamplinas como un mono de feria. Estoy seguro de que hay gente que las explica como debe, pero también hay quien no lo hace, de modo que si esto sirve para que quienes vayáis a estudiar estas cosas en la carrera tengáis un salvavidas si os encontráis perdidos al principio, mejor que mejor. Dicho esto, desde luego, aquí voy a realizar las simplificaciones salvajes que haga falta sin el menor rubor, de modo que si buscar rigor y nivel, ¡que tengas un buen día y que la puerta no te dé en el culo cuando salgas!


¿Qué son las ecuaciones de Maxwell?

Lo mejor en estos casos es quitarse el miedo, de modo que, sin más aspavientos, aquí las tienes en una de sus formas:

Ecuaciones de Maxwell
Ya me imagino que, si eres lego en la materia, te has quedado casi igual que antes, pero quiero dejarlas aquí, al principio, para que posteriormente puedas volver aquí, mirarlas otra vez y –si hemos hecho bien nuestro trabajo tanto tú como yo– que ya no levantes la ceja con indiferencia; que sepas cuál es la personalidad de cada una, en qué se diferencian unas de otras y, en resumidas cuentas, que no sean jeroglíficos sin sentido. Y, si les coges un poco de cariño, mejor.

Existen, por cierto, muchas otras maneras de escribirlas: las matemáticas son así de versátiles. Dependiendo de para qué vayan a emplearse las ecuaciones, pueden escribirse para estudiar sistemas microscópicos o macroscópicos, pueden incluir “ayudas” que hagan más simple el estudio de sistemas concretos y pueden emplearse unas magnitudes u otras para trabajar, pero independientemente del lenguaje matemático que usemos, siempre significan básicamente lo mismo — explicar ese significado es el objetivo de esta miniserie.
¿Qué es lo que dicen en conjunto? Son la descripción del campo electromagnético: el campo eléctrico, el campo magnético, su origen, comportamiento y relación entre ellos, incluyendo las ondas electromagnéticas como la luz. Básicamente, con estas ecuaciones es posible saber cómo va ser y cómo va a comportarse el campo electromagnético en una región determinada, a partir de las cosas que hay allí. La contrapartida, es decir, qué le pasa a las cosas que hay allí a partir del campo electromagnético, está descrita por la fuerza de Lorentz, de la que no vamos a hablar hoy. El conjunto de estas ecuaciones describe cosas como la corriente eléctrica, los imanes, los rayos, la electricidad estática, la luz, las microondas, la radio… vamos, son un filón.
Hay un par de cosas más que es conveniente saber sobre estas cuatro ecuaciones. La primera es que, expresadas matemáticamente o en lenguaje común, representan leyes físicas. No tienen demostración, sino que juntas constituyen una teoría que ha sido verificada experimentalmente. Dicho de otro modo, si alguien realizase experimentos que nos demuestren que estas ecuaciones son una estupidez, las tiraríamos a la basura y a otra cosa, mariposa. Sin embargo, esto no ha sucedido así ni es probable que suceda: más bien hemos ido comprobando aspectos en los que se acercan a la realidad pero fallan ligeramente, de modo que las hemos ido modificando para tener en cuenta cosas como la cuántica o la relatividad. Eso sí, el espíritu y el significado último siguen siendo básicamente los mismos.
El segundo detalle a tener en cuenta es que, como veremos en el siguiente epígrafe, las ecuaciones originales no eran cuatro y las que usamos hoy en día no son exactamente las mismas que propuso James Clerk Maxwell. El bueno de James utilizó algunas otras magnitudes diferentes, y unas cuantas ecuaciones más, mientras que fue Oliver Heaviside quien hizo un pulido, remodelación y lavado de cara que nos proporcionó lo que ves arriba y sus otros equivalentes matemáticos.
Es más, de las cuatro ecuaciones de arriba, la única en la que Maxwell hizo una contribución concreta y novedosa es la última, de modo que cada una de las cuatro ecuaciones llevan el nombre de otro científico –quien propuso cada una–, con el propio Maxwell compartiendo honor en esa última. Puede que al leer esto hagas una mueca de desdén a este escocés genial, pero creo que sería una equivocación: a menudo, el genio está en sintetizar, no en crear. Como veremos en un momento, muchos científicos habían ido descubriendo pinceladas del comportamiento eléctrico y magnético de las cosas, pero eran eso, retazos. Hacía falta un auténtico genio para relacionar unas ideas con otras y mirar las cosas como un todo, y ese genio fue Maxwell. Pero veamos, brevemente, cómo sucedió todo.


Contexto histórico

No voy a hablar aquí de la historia de cada una de las cuatro leyes representadas por las ecuaciones de Maxwell, ya que haré eso en cada artículo específico, sino más bien del papel del propio Maxwell, dónde y cuándo aparecieron sus leyes y qué transformaciones posteriores sufrieron para tomar la forma con las que las conocemos ahora. Sé que esto puede parecerte un rollo y que quieres entrar en materia, pero creo que hacerlo así es, en última instancia, más provechoso, como ya has escuchado antes si llevas tiempo con nosotros.
Ya hemos hablado en varias ocasiones en El Tamiz sobre los avances en el estudio de la electricidad y el magnetismo en los siglos XVIII y XIX. Genios como Coulomb, Faraday, Ampère, Ørsted y similares han hecho su aparición repetidas veces aquí, y todos ellos son anteriores a Maxwell. De hecho, antes de que el escocés publicase artículo alguno sobre electromagnetismo ya teníamos prácticamente todas las piezas del rompecabezas: sólo nos faltaba darnos cuenta de su existencia y unir las piezas.
Sabíamos que existía algo denominado carga eléctrica, que había dos tipos y que ambos sufrían una fuerza de atracción o repulsión con cargas eléctricas del mismo tipo o del contrario. Sabíamos que esa carga eléctrica –a veces llamado fluido eléctrico porque se desconocía el hecho de que estaba cuantizada, ni sabíamos aún de la existencia de protones o electrones–, al moverse por el espacio, generaba corrientes eléctricas que era posible crear y mantener en el tiempo. La electricidad era, cuando llegó Maxwell, un viejo conocido.
Conocíamos también materiales, como la magnetita, que formaban imanes naturales que, como las cargas, podían atraerse o repelerse. Sin embargo, la fuerza que sufrían y ejercían las cargas no era la misma que sufrían y ejercían los imanes. Como la electricidad, el magnetismo era un viejo conocido de la humanidad mucho antes de que Maxwell hiciese su aparición.
Sobre hombros de gigantes
Sobre hombros de gigantes: Ampère, Coulomb, Gauss, Ørsted, Faraday.
Sin embargo, nos faltaban cosas; para empezar, nos faltaba darnos cuenta del pedazo de rompecabezas que teníamos delante de los morros. Porque, como pasa tantas veces, algunos pensaban que ya entendíamos muy bien tanto electricidad como magnetismo, y que no había más que pulir detalles. Sin embargo, se nos quedaron los ojos como platos cuando en 1820 el danés Hans Christian Ørsted se dio cuenta de que una corriente eléctrica creaba a su alrededor un campo magnético. Estaba claro que lo que antes pensabamos que eran cosas independientes –electricidad y magnetismo– no lo eran tanto. Al menos, tras Ørsted, teníamos claro que no teníamos nada claro, lo cual es un progreso.
Otro enigma de la época era la luz: qué era realmente, cómo se propagaba, qué la generaba exactamente… pero claro, nadie pensaba que este problema tuviera nada que ver con el otro. Eran, como digo, piezas de un puzzle que ni siquiera sabíamos que existía como tal.
De hecho, se ve aquí en cierto sentido el avance de una ciencia incipiente: en un principio se descubren fenómenos. Luego se describen esos fenómenos y se comprueba en varios lugares que existen y cómo suceden exactamente. Posteriormente se pasa a clasificar esos fenómenos y crear un vocabulario con el que referirse a ellos con cierta precisión y, si se trata de una “ciencia exacta”, finalmente se pasa a cuantificar esos fenómenos con ecuaciones. Además, ecuaciones o no, llegada la madurez de la ciencia hace falta una descripción que englobe conjuntos de fenómenos y los relacione para crear, por fin, una teoría.
Pero a mediados del XIX estábamos muy lejos de algo así para el electromagnetismo. ¿O no?


James Clerk Maxwell

En 1831 nace en Edimburgo nuestro héroe de hoy: el pequeño James, hijo de John Clerk y Frances Cay. La razón de que no veas ningún “Maxwell” por ahí es que no lo había. El padre era familia de los Maxwell, pares del Reino, y poco después del nacimiento de James la familia se trasladó a una propiedad heredada de los susodichos Maxwell. Como consecuencia, John Clerk tomó el nombre de John Clerk-Maxwell, y su hijo pasó de ser James Clerk a James Clerk-Maxwell; posteriormente desaparecería el guión de apellido compuesto, no sé por qué, y James firmaría como James Clerk Maxwell, que es como lo conocemos hoy. Injustamente, hablamos de Maxwell y las ecuaciones de Maxwell, como si Clerk fuera parte del nombre y no el apellido (y desde luego, yo seguiré llamándolo como se hace normalmente).
El caso es que el pequeño James, desde muy pronto, demostró que tenía una inteligencia fuera de lo común. El pobre lo pasó mal en el colegio, porque los primeros diez años de su vida no fue a la escuela, y hasta ese momento fue educado por profesores particulares –el padre no era precisamente pobre– en la casa de campo heredada de los Maxwell. Como consecuencia, el paso de esa infancia arropada en casa a un colegio fue algo traumática: muchos de sus compañeros se reían de él, porque no estaba “curtido” socialmente, venía del campo y además me imagino que era más bien rarito. Afortunadamente para él, encontró un par de amigos que lo serían durante toda la vida, Peter Guthrie Tait y Lewis Campbell, y los tres sobrevivieron al colegio sin más problemas.
James era un puñetero genio. No digo esto por decir: a los catorce años se despertó en él el interés por las curvas cónicas –elipses, parábolas y demás–, y publicó un artículo, Oval Curves, en el que examinaba este tipo de curvas de dos focos, las propiedades de curvas con más de dos focos y cómo dibujarlas. Alguien antes que él había atacado el problema de las curvas con más de dos focos y tal vez te suene su nombre, René Descartes, pero James no conocía el trabajo del francés y su método era más simple y elegante que la de Descartes ¡Con catorce años, por el amor de Dios!
El padre de Maxwell se quedó tan patidifuso al leer el artículo de James que se lo envió a un profesor de la Universidad de Edimburgo, James Forbes, para ver qué pensaba. La reacción de Forbes fue inmediata y bastante clara: lo leyó en nombre del niño en una reunión de la Royal Society de la ciudad (el propio James no tenía la edad suficiente para ser admitido como ponente en la reunión). El artículo de este adolescente fue publicado en 1846. Este episodio fue decisivo en la vida de James por dos razones: por un lado, su padre tenía la intención de que James se dedicara a la abogacía como él mismo, pero claro, ante algo así ¿cómo le dices al chaval que no se dedique a las ciencias puras si le gustan? Por otro lado, Forbes quedó profundamente impresionado ante la inteligencia del joven Clerk-Maxwell, y se convertiría en su mentor en la Universidad y más allá de esa época.
James David Forbes
Los mentores tétricos también merecen gratitud. James David Forbes (1809-1868).
De hecho, con dieciséis años James fue admitido en la Universidad de Edimburgo y permanecería allí tres años antes de ir a Cambridge. En Edimburgo, Maxwell estudió Matemáticas y Filosofía Natural –entre otros, bajo el propio James Forbes–, a la vez que realizaba diversos experimentos en casa, sobre todo de óptica, y escribía algunos artículos más de Matemáticas y Física. A los 18 años se leyeron otros dos artículos suyos más en la Royal Society de Edimburgo — pero no los leyó él, claro, ¡no vamos a admitir a cualquier zagal en las reuniones! En fin.
Tras tres años en Edimburgo, se trasladó a la Universidad de Cambridge, donde completaría sus estudios. Durante esa época, por cierto, publicó otro artículo, éste sobre experimentos sobre los colores –en la foto de abajo puedes verlo con un disco de colores en la mano–, que no sólo fue leído en la Royal Society de su Edimburgo natal, sino que esta vez se le permitió incluso leerlo a él: ¡qué honor! — y me refiero a la Royal Society, por supuesto. El caso es que tras Cambridge, James se presentó a la Cátedra de Filosofía Natural en el Marischal College de la Universidad de Aberdeen, en su Escocia natal –a sugerencia de su mentor, James Forbes– y obtuvo el puesto con 25 años, 15 menos que cualquier otro catedrático de su facultad.
James Clerk Maxwell en Trinity College
Un joven James Clerk Maxwell durante su estancia en Trinity College.
Aunque hoy lo conozcamos fundamentalmente por sus trabajos en óptica, electromagnetismo y termodinámica –y en esta miniserie nos dedicaremos sólo al electromagnetismo–, Maxwell era un genio en casi todo a lo que dedicaba su atención y, a riesgo de que me des un pescozón por dar tantas vueltas, quiero poner un ejemplo. Desde hacía tiempo se habían observado ya los anillos de Saturno, pero nadie sabía exactamente qué eran. Tal era la curiosidad de la comunidad científica por este enigma que el St. John’s College de Cambridge lo planteó como objeto de su Premio Adams en 1857. ¿Quién lograría postular una hipótesis coherente y razonada sobre la naturaleza de los anillos?
Maxwell se puso manos a la obra y aplicó sus conocimientos de mecánica de sólidos y de fluidos a la tarea. El problema no era fácil, porque se disponía de muy pocos datos experimentales, dada la distancia a Saturno y la limitación de los telescopios de la época: Maxwell tardó dos años en encontrar la solución. En 1859 demostró que los anillos no podían ser fluidos, pues hace mucho tiempo se habrían disgregado, ni podían ser un sólido pues las tensiones estructurales los habrían roto en pedazos. Su sugerencia razonada fue que probablemente se trataba de muchos pedazos sólidos de pequeño tamaño, y que la distancia hasta Saturno era la responsable de que nos parecían ser un solo objeto. Su On the stability of Saturn’s rings (Sobre la estabilidad de los anillos de Saturno) obtuvo el Premio Adams en 1859, y un siglo y pico más tarde las sondas Voyager dieron la razón a su hipótesis.
Pero, en lo que a nosotros nos interesa hoy –el electromagnetismo–, todo empezó con la publicación de un artículo en 1855, aún en Trinity College y con 24 años. Ese artículo, de título On Faraday’s Lines of Force (Sobre las líneas de fuerza de Faraday), explicaba de un modo teórico y matemático las observaciones realizadas por un genio tan grande como el de Maxwell, el del inglés Michael Faraday. Esto ya nos ha pasado antes, sobre todo en la serie de Premios Nobel: la combinación de un científico teórico y otro experimental para revolucionar la ciencia.
Normalmente, sin embargo, suele pasar al revés que aquí: lo típico es que un teórico proponga ideas novedosas, y que un experimentador logre posteriormente demostrar esas ideas. Aquí el orden se invierte, ya que Faraday era un genio experimental como ha habido muy pocos –o tal vez ninguno–, y Maxwell se empapa de las observaciones experimentales de Faraday, además de otros, y consigue establecer un marco teórico capaz de explicarlas.
Es imposible saber hasta dónde hubiera podido llegar Faraday si hubiera recibido una educación formal: a diferencia de Maxwell, era hijo de un humilde herrero y había entrado en la ciencia como ayudante de laboratorio de Humphry Davy. Sin tener ni idea de álgebra ni cálculo, sus experimentos y conclusiones a partir de ellos revolucionaron la Física. No tengo dudas de que, sin Michael Faraday, Maxwell no hubiera construido el maravilloso edificio que construyó. Para que te hagas una idea, Einstein tenía, en la pared de su despacho, las fotos de tres científicos: Newton, Maxwell y Faraday.
El caso es que el inglés, tras varios de sus muchísimos experimentos sobre electricidad y magnetismo, había sugerido la existencia de líneas de fuerza mediante las cuales un cuerpo podía interaccionar con otro por las fuerzas eléctrica y magnética; para él, estas líneas de fuerza que unían los cuerpos no eran meros conceptos, sino una realidad física, y propuso incluso la posibilidad de que las ondas luminosas fueran una oscilación de esas líneas de fuerza, como las ondas que recorren una cuerda. ¡Qué intuición, qué genialidad, por favor!
Pero, igual que Maxwell no hubiera sido Maxwell sin Faraday, el escocés hizo florecer las ideas del inglés hasta crear un jardín. En el artículo de 1855, el joven Maxwell construye un aparato teórico incipiente –aún habría que refinarlo– que define muchas de las ideas de Faraday en un conjunto de veinte ecuaciones. Allí, Maxwell habla ya de la relación entre el campo magnético y el eléctrico, y cómo cuantificar la influencia del uno sobre el otro.
A partir de ahí, posteriores artículos y libros irían puliendo el entramado teórico de Maxwell. Es posible que otro científico con una educación matemática inferior no hubiera podido sintetizar tal cantidad de leyes y observaciones de un modo tan simple y elegante, pero es que Maxwell era un matemático de primera clase. En 1860, debido a una reestructuración, Maxwell perdió su puesto en Marischal; Forbes se había jubilado poco antes, y James se presentó para ocupar su plaza en Edimburgo, pero la consiguió su amigo Tait en vez de él. Finalmente terminó en el King’s College de Londres, donde permanecería cinco productivos años.
Durante su estancia en Londres, Maxwell convierte su artículo inicial en una auténtica teoría del electromagnetismo y la luz. Recuerda que la óptica era uno de los intereses del escocés, y de hecho en 1860 obtuvo la Medalla Rumford de la Royal Society por su trabajo en este campo — en 1861 se convertiría además en miembro de la Sociedad. Durante esta época conoce además a uno de sus héroes, un Michael Faraday ya entrado en años, y asiste a algunas de sus clases: a diferencia del propio Maxwell, Faraday era un profesor excelente y tenía enorme fama como conferenciante.
Entre 1861 y 1862, Maxwell publica On Physical Lines of Force (Sobre las líneas de fuerza físicas), una nueva versión en cuatro partes de su artículo anterior. Aunque posteriormente elaboraría más las ideas y publicaría más artículos, es aquí donde su genio se muestra verdaderamente al mundo: utiliza el cálculo vectorial para establecer las ecuaciones que rigen los campos eléctrico y magnético de un modo impecable, aunando las leyes y teoremas enunciados antes por Coulomb, Faraday, Gauss o Ampère.
Unos años antes, en 1855, dos alemanes –Rudolf Kohlrausch y Wilhelm Weber–, realizando experimentos con cargas, habían obtenido un resultado peculiar: una magnitud con dimensiones de velocidad que se obtenía al relacionar la carga medida teniendo en cuenta sólo la electrostática o incluyendo los movimientos de cargas. Esta velocidad era bastante parecida a la de la luz –con la precisión que era posible medirla hasta ese momento–. Ni Weber ni Kohlrausch le dieron mayor importancia a este hecho.
James Clerk Maxwell
James Clerk Maxwell (1831-1879).
Sin embargo, cuando Maxwell conoció el resultado de los experimentos de los dos alemanes, se puso a manipular sus propias ecuaciones que describían la electricidad y el magnetismo. ¿Sería posible obtener con ellas la ecuación de una onda? La mecánica ondulatoria se conocía bien por entonces, y el propio Newton había relacionado la velocidad del sonido con las propiedades mecánicas del medio por el que se propaga. Maxwell hizo algo parecido a lo que había hecho Newton, pero con las “líneas de fuerza” de Faraday en vez de con cuerpos materiales, y obtuvo el valor de la velocidad de esas ondas electromagnéticas: 310,740,000 m/s. La velocidad de la luz. En On Physical Lines of Force, el escocés afirma:
No podemos evitar la conclusión de que la luz consiste en las ondulaciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos.
Ese medio era, por supuesto, el éter luminífero que tantos quebraderos de cabeza nos daría posteriormente, pero eso es otra historia y ya hemos hablado de ella en el pasado. La cuestión hoy es el genio de Maxwell para relacionar a Faraday, Weber y Kohlrausch y todo lo demás para explicar la naturaleza electromagnética de la luz, además de otras cosas que veremos ecuación a ecuación.
En palabras de Richard Feynman,
Desde una perspectiva a largo plazo de la historia del mundo –vista, por ejemplo, dentro de diez mil años–, no puede quedar duda de que el suceso más significativo del siglo XIX será considerado el descubrimiento por parte de Maxwell de las leyes del electromagnetismo. La Guerra Civil estadounidense palidecerá como algo local e insignificante al compararlo con este suceso científico de primera magnitud de la misma década.
No es una exageración. Aparte de explicar la naturaleza de la luz, las cuatro ecuaciones de Maxwell lo explican, en electromagnetismo, prácticamente todo. Cómo se atraen y repelen las cargas, cómo afecta una corriente eléctrica al espacio a su alrededor, cómo se transmite un campo a través de un medio determinado, cómo una corriente puede afectar a otra a una distancia de ella. Al combinarlas con la ley de Lorentz, constituyen un cuerpo de conocimiento de igual magnitud que los Principia Matematica de Isaac Newton.
En 1865, Maxwell se retiraría a su casa familiar –la heredada de los Maxwell–, aunque seguiría escribiendo sobre electromagnetismo. En 1873 publicó A Treatise on Electricity and Magnetism (Tratado sobre electricidad y magnetismo), una obra en dos volúmenes que desgranaba su teoría. La lectura de estos dos libros impresionó de tal manera a un joven inglés de veintitrés años sin formación académica superior pero muy interesado en el electromagnetismo, Oliver Heaviside, que lo llevó a estudiar matemáticas como un poseso para lograr entender y dominar la obra de Maxwell.
Heaviside entendía lo suficiente de la obra de Maxwell para comprender su magnitud, pero sus propias lagunas lo desesperaban:
Era muy ignorante. No tenía conocimientos de análisis matemático (había estudiado únicamente álgebra y trigonometría en el colegio, y se me habían olvidado casi completamente), de modo que mi trabajo estaba claro. Me llevó varios años poder comprender todo de lo que era capaz.
Oliver Heaviside
Oliver Heaviside (1850-1925).
Heaviside no sólo acabó comprendiendo las veinte ecuaciones con veinte incógnitas de la obra de Maxwell sino que, una vez más, sobre los hombros de gigantes, aprendió el suficiente cálculo vectorial para librarse de prácticamente todas esas incógnitas y reducir, en 1884, la teoría electromagnética del escocés a sólo cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Heaviside no descubrió nada nuevo, pero sí interpretó la teoría de Maxwell de un modo que la hizo muchísimo más sencilla de asimilar. Algo así como “Maxwell es el único Dios, y Heaviside su profeta”… y no lo digo yo, lo dice el propio Heaviside:
Debe entenderse que predico el evangelio de acuerdo con mi interpretación de Maxwell.
De modo que, en las cuatro próximas entradas, analizaremos la palabra de Maxwell en sus cuatro mandamientos sobre la electricidad, el magnetismo y las relaciones entre ambos, empezando por la Ley de Gauss para el campo eléctrico. Hasta entonces, podéis ir en paz.

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