martes, agosto 09, 2011

De la Lógica a la Relatividad: los números reales.

De la Lógica a la Relatividad: los números reales.





Tras hablar de los números enteros y racionales, hoy finiquitaremos la parte algebraica de la serie hablando de ecuaciones, pero sobre todo de las raíces o soluciones de las ecuaciones. Tras este paso entraremos en el reino del análisis matemático, definiendo el conjunto de los números reales. En esta entrada hablaremos de temas bastante complejos y avanzados, así que no os asustéis si al principio no entendéis nada. Quizás sea necesario que leáis la entrada varias veces con una buena taza de chocolate calentito.
En dicha última entrada construimos el cuerpo de los números racionales, y vimos que en él tenían cabida todos los resultados que surgían de aplicar los operadores suma, resta, multiplicación y división entre dos números racionales. Espero, sin embargo, que sepáis que éstas no son las únicas operaciones que se pueden realizar. Por ejemplo, está la operación raíz cuadrada de un número, que nos devuelve un número que al ser multiplicado por sí mismo da el número de partida. Es decir, la operación raíz cuadrada resuelve la siguiente ecuación:

 x^2 - 2 = 0 .

Desde tiempos muy antiguos sabíamos resolver este tipo de ecuaciones. Los babilónicos ya las conocían y las enseñaban a resolver en las escuelas. Aunque aquí resolver tiene truco. Lo que sabían los babilónicos era aproximar la solución, que en este caso sería  \sqrt 2 . Conocían un método[1] que te daba cualquier cantidad de cifras decimales que uno necesitara de la solución. En general esto es más que aceptable en casi cualquier contexto, pero resulta que a los griegos en general, y a los pitagóricos en particular, no les convencía nada este método: ellos quería la solución exacta. Y se pusieron a buscarla.

Raíz cuadrada de 2 según los griegos
De hecho, la encontraron. La hipotenusa del triángulo de la imagen, cuando a y b son iguales a 1 es \sqrt2. Los griegos creyeron erróneamente que todas las magnitudes que podían definir mediante construcciones como las del dibujo[2] eran números racionales. No podían estar más equivocados:
 \sqrt 2 no es un número racional.[3]
Después de este resultado tan catastrófico, según sus creencias, los pitagóricos abandonaron el álgebra y se dedicaron a la geometría, para gran alegría de la humanidad.
Ahora bien, si \sqrt 2 no está en los racionales ¿Dónde está? En general las raíces de cualquier grado de un número racional tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Y ¿esto que quiere decir? Pues que si tenemos un procedimiento como el de los babilónicos para aproximarlas… NUNCA TERMINARÍAMOS.
Ahora bien, hay varias categorías para este tipo de números:
  • Por un lado, están las raíces de números racionales que más o menos son equivalentes al conjunto de todas las soluciones de todas las ecuaciones de cualquier grado con coeficientes racionales que uno pueda escribir. Por si no lo has entendido: las soluciones para todas las ecuaciones cx^2+bx+a=0, cuando a, b y c son racionales. Y también las de dx^3+cx^2+bx+a=0 cuando a, b, c y d son racionales… y así hasta el infinito. Un ejemplo de un número de este conjunto es el ya visto: \sqrt2. A este conjunto de número se le denomina Números Algebraicos.[4]
  • Por otro lado, están los números que, aunque no se pueden escribir como la solución de una ecuación con coeficientes racionales, sí que se puede expresar con alguna fórmula matemática. Un ejemplo de número en este conjunto es \pi, definido como la razón entre la circunferencia y su diámetro. A este conjunto se le denomina, en general, Números Trascendentes.
  • En general, al conjunto de los números los cuales somos capaces de aproximar mediante un ordenador se le denomina Reales Recursivamente Enumerables.
Obviamente, cada uno de los conjuntos anteriores contiene a su predecesor. La pregunta ahora es si hay más números aparte de estos. Y la respuesta es que sí, ¡De hecho, el cardinal de todos estos conjuntos es el mismo que el de los números naturales, ℵ0![5]
¿Y cómo se definen estos números que ni siquiera podemos aproximarlos mediante un ordenador? La cuestión es un poco truculenta y voy a hacer un montón de trampas, pero espero que la idea quede clara. Como siempre, usaremos nuestras “gafas mágicas” que confunden elementos para definir este nuevo conjunto. Antes de ponernos al ajo, necesitamos introducir algunos conceptos nuevos:
  • A toda lista infinita de números racionales \{a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots \} la llamaremos sucesión.
  • Diremos que una sucesión es convergente si existe un número x (que llamaremos límite) de tal forma que, según vamos avanzando en los términos de la sucesión, nos vamos acercando a él. Ojo, el límite no tiene por qué existir en el conjunto (pensad en las sucesivas aproximaciones a \sqrt 2 que hacían los babilónicos o tú mismo en la escuela).
  • Ahora bien, para evitar este pequeño problema tomaremos las sucesiones que cumplen la siguiente propiedad: la diferencia (en valor absoluto) entre términos sucesivos se hace tan pequeña como uno quiera. Es decir |a_n -a_{n+1}| se va haciendo cada vez más pequeño a medida que aumentamos n y además, cuando llegamos al infinito, se hace 0. Estas sucesiones son tan importantes que tienen nombre propio: se llama Sucesiones de Cauchy.
Ahora bien, dadas dos sucesiones de Cauchy podemos definir una suma (y también resta y producto) de la siguiente manera:
Sean a:=\{a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots \} y b:=\{b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots \} dos sucesiones de Cauchy. Definiremos a+b como la siguiente sucesión \{a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots, a_n+b_n,\ldots\}. De la misma forma podemos definir la resta y el producto. Además, se cumple que la sucesión que hemos denotado a+b vuelve a ser de Cauchy.
Pues bien, y ahora viene el truco, diremos que dos sucesiones son equivalentes si el límite de la sucesión a-b existe y es 0. Al conjunto de todas las sucesiones con la anterior relación de equivalencia lo denotamos como \mathbb{R} y lo llamamos conjunto de los números reales. Es fácil ver que los números racionales, algebraicos, trascendentes y recursivamente enumerables están en el conjunto de los números reales. Ahora bien, ¿cómo construimos un número que esté en los números reales y no esté en ninguno de los conjuntos anteriores? Voy a dar una pista (la solución en los comentarios): Leed el segundo artículo de Pedro sobre el infinito.
Por cierto, antes de acabar un teorema (que sé que os gusta):
El único cuerpo ordenado[6] en el que todas las sucesiones de Cauchy tienen límite y además dicho límite está en el mismo cuerpo es el conjunto de los números reales.
Como ya tenemos un artículo muy denso, terminamos aquí. Pero no sin antes meter el tradicional resumen:
  • Hemos visto cómo el conjunto de los números racionales no nos valía para tener todas las soluciones de ecuaciones…
  • Ni siquiera para las construcciones con regla y compás.
  • De hecho, aunque añadiéramos todos esos números, nos seguían saliendo números que no estaban en el conjunto, como los trascendentes o los recursivamente enumerables.
  • Finalmente, definimos las sucesiones de Cauchy y construimos los números reales.
Ahora que ya tenemos el terreno abonado[7] podemos empezar a “plantar” las cosas ricas e interesantes de la serie. En la próxima entrada hablaremos un poco de las funciones y de sus propiedades (principalmente continuidad y diferenciabilidad) que serán las dos definiciones importantes a tener en cuenta.
  1. Que actualmente denominaríamos Método de Newton. []
  2. En general, mediante una regla sin marcas y un compás de los de toda la vida. []
  3. Una demostración la puedes seguir en la Wikipedia. No tiene desperdicio por su simplicidad. []
  4. Aquí estoy haciendo una trampa muy grande, pero ya sabéis: antes simple que incomprensible. []
  5. Si no estás familiarizado con esta nomenclatura te recomiendo leer los estos dos artículos de Pedro sobre el infinito. []
  6. Aquí “ordenado” significa que para cualesquiera dos números a y b que se den, se tiene que a<b o  b<a o a=b. Y por si te lo estas preguntando, sí que existen conjuntos en los que estas propiedades no se cumplen. Los matemáticos estamos enfermos. []
  7. Ya hemos definido los números reales []

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