miércoles, julio 06, 2011

Pesando el universo. El triunfo de la teoría de gravitación.

Pesando el universo. El triunfo de la teoría de gravitación.



Isaac Newton en 1702, por Geoffrey Kneller
En 1665, un brote de peste bubónica aterrorizó a la ciudad de Londres. Tal fue la alarma que quienes podían salir de la ciudad lo hicieron sin pensárselo dos veces. Muchas instituciones públicas cerraron, y una de ellas fue la Universidad de Cambridge, y entonces un desconocido estudiante de esa universidad con apenas 22 años, Isaac Newton (1643-1727), regresó a la granja de su madre.
A pesar de pasar inadvertido y graduarse sin honores, en los 18 meses que estuvo en la granja Newton fomentó las bases de lo que posteriormente sería considerado (por los científicos anglosajones) como el mayor trabajo teórico-experimental que haya hecho una sola persona en la historia de la ciencia.[1]
Ya en 1666, Newton había construido las bases para el cálculo diferencial e integral y creó un método para calcular potencias de binomios, al mismo tiempo que investigaba en óptica. Como si esto no fuese suficiente para ocupar su mente, trabajó en la mecánica celeste y el movimiento de los planetas. De esta forma llegó a uno de los más grandes logros de la humanidad: la unificación de la teoría de la gravitación. En el artículo anterior nos habíamos encontrado con el método elegante de Shapley, con el cual pudo calcular la distancia del Sol al centro galáctico; de esta forma nos dimos cuenta de la inmensidad de este disco que alberga a nuestro hogar. Sin embargo, el tamaño de la Galaxia no es sólo cuestión de volumen. La curiosidad inmediatamente nos hace preguntarnos: ¿Cuántas estrellas tiene? La teoría de Newton pudo responder no sólo a esta pregunta, sino que dio razón de otros fenómenos que causaron gran excitación a toda la humanidad. De ello hablaremos en el artículo de hoy de esta serie.


Ley de interacción gravitatoria. A pesar de incluir una constante (G), Newton no vivió para saber su valor.
La principal objeción que tenían los partidarios del modelo geocéntrico en contra de la posibilidad de que la Tierra girase era que la aceleración centrífuga debida a tal rotación causaría que los objetos salieran despedidos al espacio. Galileo Galilei (1564 - 1642) (de quien habla Pedro de una manera magistral) se dio cuenta de que aquello no era posible, pues existía una fuerza capaz de hacer caer los cuerpos y que afectaba a todos, causando que, como lo observó también Galileo, cayeran al suelo con la misma aceleración. Newton fue más allá, y se dio cuenta de que para que esto fuese posible era necesario considerar una fuerza dependiente, proporcional a la masa del objeto en cuestión. Pensó que si esta fuerza era producida y sentida por todos los cuerpos con masa, todos los objetos se atraerían entre sí; así que Newton podría atraer a su madre (gravitatoriamente), por ejemplo, como la Tierra lo atraía a él mismo.
Sin embargo, no había razón para discernir entre que su madre lo atrajera a lo contrario. De esta forma la fuerza sería de interacción, es decir, así como la Tierra atraía a Newton, éste atraía a la Tierra con la misma fuerza. Tener una fuerza dependiente de la masa de los objetos interactuantes era el punto de partida para concluir que los cuerpos deberían caer, tal como observó Galileo, con la misma aceleración. El desarrollo del cálculo diferencial permitió a Newton calcular el valor de la fuerza centrífuga que opera sobre la superficie de la Tierra debida a su rotación. Al compararla con la aceleración debida a la atracción de la Tierra, vio que la primera era solamente de 1/300 de la segunda. Efectivamente, no saldríamos volando.
Sin embargo hay objetos que aparentemente no caen a la Tierra. Es sencillo darse cuenta: por ejemplo, la Luna. No cae, es lo primero que uno piensa, pero sí que gira alrededor de la Tierra. Newton se dio cuenta de que la aceleración centrífuga debida a su giro en torno a la Tierra debería compensarse con la aceleración de caída libre para que la Luna no terminara cayendo sobre la Tierra aplastando a la gente. Realizó los cálculos de aceleración centrífuga teniendo en cuenta la velocidad con que rotaba la Luna y vio que, para que se compensara con la aceleración de caída libre, esta última debía ser mucho menor a la observada en la superficie terrestre.
Al parecer, un amigo suyo, el genial Robert Hooke (1635 – 1703), había sugerido que la aceleración debida a la atracción gravitatoria de un cuerpo disminuía en proporción inversa al cuadrado de la distancia, pero Newton negó posteriormente que algún colega le hubiese ayudado a formular sus ideas. La verdad de tal conflicto se la llevó Newton a la tumba, aunque lo más justo sería darle el beneficio de la duda. Lo cierto es que para 1684 ya tenemos escritos de Newton a su amigo Sir Edmund Halley (1656-1742) hablando de tal dependencia. En palabras de Newton, la dependencia con el inverso cuadrado “encajó bastante bien”; de esta forma la Luna no saldría despedida del planeta, pues estaba ligada por la atracción gravitatoria, ni tampoco caería, pues su giro le imprimía suficiente aceleración centrífuga como para permanecer sustentada. La fuerza gravitatoria (dependiente de la masa de los objetos interactuantes, y en proporción al inverso del cuadrado de la separación), además de a él, a su madre, a la Tierra y la Luna, se extendería también al Sol y los planetas. Cuando aplicó su teoría al movimiento planetario… Voilà! Obtuvo las leyes de Kepler (!!). Demostró así que estas leyes no eran principios divinos como muchos pensaban, sino la consecuencia de leyes más fundamentales, leyes no sólo concernientes a los planetas, sino leyes que también nos afectaban a los mortales, las leyes que postuló Newton. El gran impacto que esto causó a sus contemporáneos es expresado de manera inmejorable por el poeta Alexander Pope:
Nature and nature`s laws lay hid in night. God said “let Newton be” an all was light.[2]

Copia perteneciente a Newton de la primera edición de los Principia con correcciones a mano para la segunda edición.
El prestigio de Newton llegaría a su cúspide hacia el año 1687, año en que, con la recomendación de Halley, publicó sus descubrimientos en mecánica, óptica y cálculo diferencial en el libro con título original Philosophiæ naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de filosofía natural). Para muchos la obra más importante de la ciencia.
Un siglo después de la publicación, quedaba sin realizar un experimento que Newton sugirió en el libro. Nuevamente, como en otros modelos teóricos del universo, el gravitatorio describía el universo, pero no daba cuenta de su escala. La potencia del modelo gravitacional era tal que no sólo predecía las leyes de Kepler, sino que también podía calcular la proporción de las masas de objetos interactuantes. Conociendo la aceleración que producía un cuerpo a cierta distancia, podía darnos razón de su masa; sin embargo, no se conocía la constante de proporcionalidad (la constate de gravitación). Dado un cuerpo de cierta masa, era imposible predecir la fuerza con la que atraería a otro. Por otro lado, si conocíamos la fuerza con que un cuerpo atrae a otro debida a la gravedad, era imposible conocer su masa. Ahora bien, si se midieran ambas magnitudes al mismo tiempo, podríamos conocer su proporción y así aplicarla al resto de sistemas gravitatorios.
Newton sugirió un curioso experimento: si se suspendía una plomada junto a una montaña, la gravedad de la montaña la empujaría ligeramente fuera de la vertical. Si la desviación fuese mensurable, podría verse la razón entre masa Tierra/masa montaña, y si la masa de la montaña pudiera ser calculada con exactitud razonable, entonces podríamos llegar hasta el valor de la masa de la Tierra y así, conociendo la fuerza con que ésta nos atrae, llegar a la constante de gravitación. Una vez conocida la masa de la Tierra, aplicando las ecuaciones de Newton también podríamos llegar a la masa de todos los cuerpos del Sistema Solar. Un logro realmente sorprendente. (!!!!)

Monte Schiehallion. Una montaña perfecta: aislada y con forma prácticamente cónica.
El problema era encontrar una montaña adecuada, claro. Estimar la masa de una montaña no es tarea fácil. Podíamos tomar una muestra y calcular su densidad, y lo único que faltaba para saber la masa de la montaña era poder medir aceptablemente su volumen. Los primeros en intentar buscar una montaña para tal experimento fueron los franceses Pierre Bouguer y Charles Marie de La Condamine, hacia 1738 en el monte Chimborazo, actualmente Ecuador. Realizaron mediciones a más de 4500 msnm. Sin embargo, para esa época, Ecuador era un sitio tan recóndito como hoy lo es la Luna, así que un experimento fuera de Europa rápidamente se desestimaba. A pesar de eso, según lo que se conoce, los resultados de la expedición francesa eran muy buenos. Pero el reconocimiento vendría para una expedición en Europa. Para 1774, una expedición de la Royal Society informó que había encontrado una montaña llamada Schiehallion, en Escocia. Un monte solitario, con forma prácticamente cónica y de gran pendiente. Ni mandado a hacer para este experimento. Inmediatamente se empezaron a hacer mediciones y los cálculos fueron delegados al joven matemático Charles Hutton (1737-1837), quien encontró no sólo la constante de gravitación, sino la primera cifra de la masa terrestre: 5×10^24 kilogramos, mostrando así el impresionante el alcance de una simple ecuación. Este dato dejó contentos a algunos, pero no a todos, pues el problema de la exactitud del experimento dejó mucho que desear para algunos. Pronto se empezaron a buscar nuevos métodos para conseguir una cifra exacta. En 1798, otro inglés obtuvo esa medida exacta… y sin salir de su casa.

Diagrama del experimento Michell-Cavendish
Henry Cavendish (1731-1810) nació en la ciudad de Niza (Francia) pero se educó en Inglaterra, y a pesar de estudiar durante cuatro años en Cambridge, era muy tímido para enfrentarse a un auditorio. No consiguió ningún título. Cavendish era nieto de dos duques y sobrino de una mujer también con gran fortuna. Él fue uno de los hombres más ricos de su época. Un amigo suyo, John Michell (1724-1793), clérigo y geólogo genial, había diseñado un experimento y un aparato para la medición de la constante gravitatoria, pero murió antes de poder realizar el experimento. Cavendish adquirió el equipo y lo instaló en una de sus tantas casas en Londres.
El aparato era sencillo: 2 bolas metálicas de unos 30 cm suspendidas de un caballete de acero y 2 bolas más pequeñas, de 5 cm de diámetro, suspendidas cerca de las primeras y conectadas por un fino cable de cobre. Estaba diseñado para medir el movimiento de torsión creado en el alambre por la atracción gravitatoria de las masas grandes sobre las pequeñas. Para que la proximidad de los experimentadores no perturbara el experimento, éste se dirigía por control remoto. Cavendish utilizó un telescopio montado fuera del cuarto para leer una escala graduada minuciosamente para medir el movimiento (de décimas de milímetro) e iluminado por un estrecho haz de luz dirigido desde fuera del cuarto. El resultado: La Tierra debería tener 5,5 veces la densidad del agua y pesar, por lo tanto unos 5,9×10^24 kg, un 20% más que el obtenido por Hutton en Schehallion, y con un asombroso error del 1% con respecto al valor aceptado actualmente.

Neptuno. Pilluelo, tarde o temprano te íbamos a encontrar!
De esta forma, con el experimento de Cavendish, como vimos de precisión enorme, estaba completado el modelo gravitatorio de Newton. Tal era el poder de este modelo que pudo también determinarse exactamente la masa de la Luna, del Sol y los demás planetas conocidos. Luego del descubrimiento por parte de William Herschel del planeta Urano, vino el triunfo, para muchos, más contundente de esta teoría. Como si calcular el peso del sistema solar no fuese suficiente, la gravitación también podía predecir el movimiento de los astros al ser sometidos a la interacción con otras masas. El caso de Urano fue espectacular.
Su órbita presentaba ligeras desviaciones con respecto a lo que se esperaría si sólo se encontrara jalonado por la fuerza del Sol; un estudio más minucioso de su órbita no hacía más que confirmar que Urano estaba sintiendo la fuerza de gravedad de otro cuerpo ¿pero… cuál?. Los datos de las observaciones de Herschel de la órbita del planeta fueron atacadas por el francés Jean Joseph Leverrier (1811-1877). Utilizando el modelo gravitatorio de Newton, pudo predecir la existencia de una masa planetaria del mismo tamaño de Urano, y logró situarlo espacialmente con un error de apenas cuatro segundos de arco (!!!) Se había descubierto al planeta Neptuno.
El posterior triunfo de la teoría gravitatoria vendría de la mano del astrónomo neerlandés Jan Oort (1900-1992). Este genial hombre se preocupó por dar un valor a la cantidad de estrellas en la vía Láctea. Como primer paso supuso que la región central de la galaxia (su centro de masa) albergaría el 90% de todas las estrellas. Si esto fuera cierto, las estrellas situadas en las afueras de la galaxia girarían alrededor del centro, así como la Tierra lo hace alrededor del Sol.
Las estrellas más cercanas girarían a una velocidad mayor, mientras que las más lejanas, a una menor. [3] Así, las estrellas que se encuentren entre nosotros y el centro galáctico se acercarán tangencialmente a nosotros (porque se mueven más rápido) mientras las que se encuentran más alejadas que nosotros al centro galáctico, se alejarán (porque se mueven más lento). Así lo pudo ver, cualitativamente Kapteyn, en 1904, observando algo así como dos corrientes de estrellas que se movían en sentido contrario.

Oort en 1937
En 1925, Oort demostró que las dos corrientes correspondían a estrellas internas y externas respectivamente. La observación de la velocidad de estas estrellas llevó a concluir a Oort que el Sol debería moverse a una velocidad de 220 km/s en torno al centro de la galaxia, siguiendo una órbita circular. Para que tal velocidad fuese posible, y conociendo la masa del Sol, el centro de la galaxia debería tener una masa 90.000 millones de veces superior a la masa solar. Si suponemos que el centro galáctico tiene el 90% de la masa total de la galaxia, nos damos cuenta de que la masa total de la galaxia resulta ser, preliminarmente, 100.000 millones de veces la masa del Sol. Y pensar que toda la historia comenzó en un año de peste en Londres…
Así, la historia del conocimiento del universo por parte del ser humano seguía con éxito tras éxito, y la historia no se detendría. Cada vez que los hombres ponían sus ojos en el telescopio se darían cuenta de que nuestro entorno era cada vez más grande. La historia seguirá… pero eso será en el próximo artículo.
  1. De manera personal, aunque el trabajo de Newton es realmente impresionante, me parece aun más admirable el de Galileo Galilei (seguramente por mi ascendencia latina): el descubrimiento de las lunas de Júpiter, de las fases de Venus, de las manchas solares, de las irregularidades de la Luna, de la aceleración de la gravedad y una formulación sencilla para su descripción. La descripción del movimiento de proyectiles, el tratamiento de sistemas de referencias inerciales. Gran parte de la mecánica formalizada por Newton fue propuesta, cualitativamente, por Galileo sesenta años antes. Sin amigos geniales como los que Newton tenía (Hooke, Halley, Wren, etc) Galileo hizo lo imposible en una sociedad mucho más conservadora, como la italiana del Siglo XVII. []
  2. La naturaleza y sus leyes yacían escondidas en la oscuridad. Dios dijo: “Que sea Newton” y todo se iluminó. []
  3. Suponiendo órbitas aproximadamente circulares []

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Sobre el autor:


Antares (César Augusto Nieto)

Colombiano. 19 años. Estudiante de física. Actualmente vinculado al grupo de electrodinámica aplicada de la Universidad Nacional de Colombia investigando en metamateriales de régimen óptico.

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