2010 08 26
[Termodinámica I] Estados de agregación
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En el último artículo del bloque [Termodinámica I] hablamos acerca del concepto de equilibrio térmico y de las consecuencias del desequilibrio. En los ejemplos que allí manejamos, como espero que recuerdes aún, el sistema de mayor temperatura transfería energía en forma de calor al de menor temperatura, hasta que ambas se igualaban, ya que uno disminuía su temperatura al perder energía y el otro la aumentaba.
Sin embargo, esto no tiene por qué ser necesariamente así: existen otros modos en los que un cuerpo puede “almacenar” la energía térmica que recibe sin aumentar su temperatura. Y, del mismo modo, es posible perder energía térmica sin disminuir la temperatura. Ya sé que esto puede sonar un poco raro al principio, pero si has estudiado algo de Física en algún momento –si no es así no te preocupes, porque no suponemos que así sea al explicar nada–, recuerda la diferencia entre energía cinética y energía potencial, y tal vez se te ilumine la bombilla antes siquiera de que empecemos a bucear en el asunto que nos ocupará hoy: los estados de agregación.
Pero, antes de nada, la solución al desafío del artículo anterior del bloque:
El caso es que a veces estas interacciones entre partículas son muy intensas y atractivas, de modo que –por ejemplo– los iones de sodio y cloro que forman un cristal de sal común se van “pegando” unos a otros, formando una red de enlaces que los mantiene fuertemente unidos en posiciones más o menos fijas. Es algo así como lo que sucedería si cogieras un buen puñado de imanes en forma de cubitos de hielo: se quedarían todos pegados unos a otros permanentemente en posiciones difíciles de desplazar, como una especie de cubo de Rubik. Esta situación determina el estado sólido.
Observa que digo “posiciones más o menos fijas”: incluso en el más rígido e ideal de los cristales, las partículas que lo forman se pueden mover alrededor de esas posiciones de equilibrio. La rapidez con que así vibran es precisamente, como dijimos al definir la temperatura, lo que la determina en el caso de un sólido. Lo que hace que ese cuerpo sea un sólido es el hecho de que esos movimientos no son capaces de vencer las enormes fuerzas que mantienen unas partículas “pegadas” a las demás.
Como ejemplo estúpido y con todas las limitaciones habituales, imagina el sólido como un conjunto de personas muy tímidas pero afectivas: forman lazos sociales muy fuertes pero sólo con unas cuantas personas cercanas, que llenan todas sus necesidades emocionales. En una fiesta con personas así, la gente formaría grupos de conversación de los que no se moverían. Eso sí, los grupos no están cerrados, sino que hay un solapamiento que hace que los grupos estén en posiciones fijas unos respecto a otros, con un par de personas en común entre cada par de grupos.
Sin embargo, a veces estas interacciones son débiles y no son capaces de frenar el movimiento de las partículas, como sucede en el caso del agua: el estado líquido. Entre sus moléculas hay fuerzas de atracción, pero son tenues comparadas con los movimientos moleculares. Lo que sucede entonces es que las moléculas de H2O no tienen posiciones de equilibrio, y no están unidas unas a otras permanentemente, sino que se mueven con cierta libertad. Eso sí, sigue habiendo la suficiente atracción entre ellas como para que estén unidas, pero no de forma permanente: se van “pegando” ligeramente a las moléculas que tienen al lado en un momento determinado, pero pueden seguir moviéndose y ser atraídas por la siguiente molécula cercana.
De este modo, un líquido puede fluir, es decir, sus partículas constituyentes pueden desplazarse unas sobre otras y alterar la forma del cuerpo de manera muy rápida, ya que no existen posiciones fijas como en el caso del sólido. En el ejemplo absurdo de arriba, el líquido sería el equivalente de un conjunto de personas muy sociables pero que no forman lazos sociales permanentes ni muy sólidos: en una fiesta siempre están hablando con algunas personas, pero van cambiando de grupo de conversación todo el tiempo.
Es importante que entiendas algo en lo que no se hace el suficiente énfasis, a menudo, en los libros de texto: lo que determina que algo sea un sólido o un líquido no es únicamente la intensidad de esas atracciones (fuertes para el sólido, débiles para el líquido). Es la comparación entre la intensidad de las atracciones y el movimiento de las partículas.
Imagina una sustancia cuyas fuerzas de atracción entre moléculas son brutalmente grandes. ¿Se tratará entonces de un sólido? ¡No necesariamente! Si las moléculas están moviéndose a velocidades tremendas, no hay fuerza de atracción que valga, y no será un sólido. Lo mismo puede pasar con una sustancia con fuerzas de atracción débiles: sí, puede que sean débiles, pero si las partículas que la forman apenas se mueven, pueden ser suficientes para “amarrarlas” en posiciones más o menos fijas y formar un sólido.
De modo que recuerda: no es la velocidad de movimiento –es decir, la temperatura–, ni es la intensidad de las atracciones entre partículas –que dependen, al final, de la estructura química de la sustancia–, sino de cómo se comparan ambas. De quién gane dependerá el estado del cuerpo… y no sólo para formar un sólido o un líquido, sino también los demás estados.
Por ejemplo, es posible que esas fuerzas de atracción, comparadas con el movimiento propio de las partículas, sean nulas o casi inapreciables. En ese caso no hay nada que mantenga las moléculas o átomos unidos unos a otros de ninguna manera, y cada uno se mueve a su aire, sólo notando la presencia de los otros si choca con alguno de ellos. Se trata entonces del estado gaseoso; en este caso, además de poder fluir libremente, dado que no hay nada que mantenga a las partículas unidas unas a otras, también puede cambiar el volumen, ya que las partículas pueden estar más juntas o más separadas unas de otras sin problemas.
En la analogía de la fiesta, el gas sería el equivalente a personas sin el menor interés social en los demás. En la fiesta, simplemente deambularían sin destino fijo por la habitación, pensando en sus cosas e ignorando al resto salvo que se chocasen con ellos.
Finalmente, es posible que no sólo las fuerzas que atraen a moléculas o átomos unos a otros sean mucho más débiles de lo que sería necesario para “pegarlos” entre sí dada su velocidad; es posible incluso que la violencia del movimiento sea tanta que ni siquiera las fuerzas que mantienen la estructura del propio átomo –la atracción entre protones y electrones, por ejemplo– sean capaces de mantenerlo unido, y los mismos átomos se rompan. Lo que se tiene entonces es un conjunto de “trozos de átomo” cargados eléctricamente, conjuntos de protones y neutrones con electrones a su alrededor, que se denomina plasma.
En este bloque nos centraremos, sin embargo, en los tres primeros estados de agregación; he mencionado el plasma porque la clasificación, en términos modernos, se quedaría coja sin hacerlo así. Y lo que realmente nos interesa aquí no es la propia agregación de la materia, sino su comportamiento termodinámico. De modo que ¿qué tiene que ver el estado de agregación con la temperatura? Tal vez lo hayas comprendido ya, pero lo veremos con un ejemplo concreto — el del H2O.
Supongamos, sin embargo, que vamos calentando el hielo poniéndolo en contacto, por ejemplo, con un foco térmico: lo metemos en un horno inmenso en el que el aire está nada más y nada menos que a 1000 K. Como consecuencia, como vimos en el anterior artículo, las partículas del gas van dando empujones tremendos a las moléculas de H2O, que van ganando energía cinética más o menos rápidamente y vibrando más y más violentamente alrededor de sus posiciones de equilibrio… tanto que, eventualmente, empiezan a ser capaces de escapar de esas posiciones fijas.
Igual que si tiras una pelota hacia arriba más y más fuerte llega un momento en el que es capaz de escapar de la gravedad terrestre –aunque la velocidad es tremenda y en la realidad no podrías hacerlo con tus meros músculos–, nuestras moléculas se “liberan” hasta cierto punto: siguen estando atraídas unos a otras, pero esa atracción ya no es suficiente para mantenerlas fijas, sino que se deslizan unas sobre otras con cierta elegancia. Nuestro H2O es ahora un líquido, y se ha fundido, es decir, ha sufrido un cambio desde el estado sólido al líquido. ¡Pero un momento! Algo más, algo importantísimo, ha sucedido aquí.
La energía cinética que necesitan las moléculas de H2O para poder escapar a las cadenas de la atracción entre ellas se corresponde con una temperatura de unos 273 K a presión atmosférica, que es la temperatura de fusión del hielo. Esto significa que, según las moléculas van alcanzando esa energía cinética, van liberándose y son capaces de fluir. Pero al escapar pierden parte de esa energía cinética, es decir, se enfrían de nuevo.
¿Quiere esto decir que, al enfriarse tras escapar, las moléculas vuelven a “caer” y quedar atrapados en el átomo? Al igual que la piedra, no necesariamente. A su alrededor hay muchas otras moléculas que les dan empujones constantemente, calentándolos de nuevo, por no hablar ya del gas a 1000 K. Pero, como puedes ver, lo que no se produce según esto sucede es un aumento de temperatura sobre los 273 K: una vez se alcanza ese valor, los moléculas van escapando de sus cadenas mutuas, enfriándose en el proceso y volviendo a calentarse según reciben los empujones de moléculas a 273 K –ya escapadas o no–.
Si una molécula ya escapada (ya “líquida”, aunque no tenga sentido al hablar de una sola) se calentase, por ejemplo, hasta 274 K, moviéndose más rápido que las que tiene alrededor, aún prisioneras o no, estaría en desequilibrio térmico con ellas: enseguida les daría un empujón mayor que las otras a ella, y acabaría otra vez a 273 K. Las moléculas, por decirlo estúpidamente, son “solidarias”: hasta que todas han logrado escapar y pueden calentarse más o menos acompasadamente, ninguna sube de 273 K, porque proporciona la energía que le sobra comparada con las demás a las que tiene alrededor.
Esto significa que, si mirásemos nuestro trozo de hielo y midiésemos su temperatura, veríamos que va subiendo desde el valor minúsculo del principio a 100, 150, 200, 250, 270, 273 K…. y entonces el termómetro dejaría de subir. Mientras el termómetro permanece fijo a 273 K, veríamos cómo el hielo se va fundiendo. Y sólo cuando todo el hielo estuviera fundido –al menos, en condiciones ideales, pues en la realidad la cosa puede ser menos elegante–, todas las moléculas ya libres de sus posiciones fijas, la temperatura volvería a subir una vez más.
Y aquí llegamos al párrafo más importante de este artículo, así que ojo avizor. Si la temperatura del H2O antes de empezar a fundirse es de 273 K, y justo después de fundido es de 273 K, ¿quiere esto decir que las moléculas de H2O tienen la misma energía antes y después? La respuesta es que tienen la misma energía cinética, ya que se mueven igual de rápido… pero no la misma energía total. Cada molécula ha almacenado otro tipo de energía –denominada energía potencial, aunque esto no nos importa mucho en este bloque–, la que fue necesaria para escapar de los lazos eléctricos de las otras moléculas.
Imagina, por ejemplo, que levantas un gran peso del suelo haciendo un enorme esfuerzo. Antes de levantarlo, el peso estaba parado. Al final vuelve a estar parado. ¿Quiere esto decir que tiene la misma energía que antes? ¡No! Ha almacenado una energía nueva, la necesaria para elevarse esa distancia en el campo gravitatorio terrestre, y esa energía es la misma que tú has gastado con tus músculos. Además de la energía cinética hay otras, como la potencial, relacionadas con fuerzas de atracción o repulsión, y esa energía es la que han ido almacenando las moléculas de H2O según el hielo se fundía.
La mejor manera de ver esto, creo, es con una gráfica. En la que ves más abajo hemos representado la temperatura en el eje de abscisas –horizontal– y la energía total por partícula (¡no sólo la cinética, ojo, sino también la debida al estado de agregación, es decir, la potencial!) en el eje de ordenadas –vertical–. Las unidades y las cantidades no nos importan demasiado ahora mismo. Como puedes ver, cuando nuestro trozo de hielo está muy frío, su energía por partícula es minúscula (ideal y clásicamente, 0 J a 0 K). Según proporcionamos energía al trozo de hielo al ponerlo en contacto con el aire caliente de nuestro horno, su temperatura va aumentando… hasta que alcanza 273 K, es decir, 0 °C: la temperatura de fusión del hielo a presión atmosférica.
Sin embargo, aunque el trozo de hielo sigue recibiendo energía del horno, la temperatura deja ahora de aumentar: la energía cinética de las partículas, en promedio, se mantiene constante. Toda la energía que recibe el trozo del hielo, al final, se va empleando en liberar las moléculas de H2O de sus lazos de sólido. Como consecuencia, cada molécula no gana energía cinética –es decir, el hielo no aumenta su temperatura– pero sí gana energía potencial: la misma que la pelota al subir en el aire. El resultado es algo así:
En el extremo inferior del segmento vertical, tenemos hielo a 273 K. Según ascendemos por ese segmento, la temperatura sigue siendo la misma, pero las moléculas van “soltándose” unas de otras y ganando así energía potencial. En otras palabras: el hielo se va fundiendo. En la parte de abajo del segmento tenemos mucho hielo aún sin fundir y un poquitín de agua ya fundida, ambos a la misma temperatura de unos 0 °C. En la mitad del segmento hay la misma cantidad de hielo que de agua, y en la parte de arriba hay ya mucha agua líquida y muy poco hielo aún sin fundir. Finalmente, en el extremo de arriba tenemos ya, por fin, todo el H2O en forma líquida, aún a la misma temperatura.
Dado que el horno está a 1000 K, nuestra agua sigue recibiendo energía térmica y, ahora sí, aumentando de nuevo la temperatura y, con ella, la violencia del movimiento de las moléculas, que ahora pueden deslizarse unas sobre otras cual invitados sociables y poco afectivos en nuestra fiesta, hasta que se alcanza otro punto importante, la temperatura de ebullición del agua –unos 373 K a presión atmosférica–:
Y ahora vuelve a suceder casi lo mismo de antes: las fuerzas de cohesión no son suficientes para mantener las moléculas de H2O ni siquiera deslizándose unas sobre otras, y las escurridizas moléculas empiezan a escapar de esa atracción: el agua está hirviendo. No voy a ser aquí tan detallado como antes, porque el concepto es casi idéntico: la temperatura se mantiene constante, cada vez hay menos agua líquida y más vapor, y la energía potencial de las moléculas aumenta aunque la cinética no lo haga. Al final del segmento tenemos ya todo nuestro H2O convertido en vapor a unos 373 K, alrededor de 100 °C:
Finalmente, nuestro vapor de agua se iría acercando cada vez más a la temperatura del horno, y una vez llegado a ese punto, dejaría de cambiar: se habría alcanzado el equilibrio térmico. Desde luego, si el horno hubiera estado lo suficientemente caliente, hubiera sido posible ir incluso más allá, hasta que empezasen a romperse las moléculas y los átomos en sus cargas constituyentes, y tuviéramos un plasma… aunque, entonces, ya no tendría sentido hablar de H2O, por supuesto.
También podríamos haber hecho nuestro experimento al revés, y la gráfica hubiera sido la misma –sólo que la hubiéramos recorrido hacia la izquierda y abajo–. Como consecuencia, hay un buen puñado de nombres que describen los posibles cambios de fase en un sentido y el otro; no me gusta dar listas de nombres a diestro y siniestro, pero aprender a veces también requiere memorizar nombres. Al menos, en la mayoría de los casos se trata de palabras bastante comunes que utilizamos a menudo.
Antes de nada, los cambios de fase que hemos descrito en el experimento fueron todos hacia estados de mayor energía, es decir, cambios progresivos. Si hubiéramos hecho el experimento al revés, enfriando vapor de agua, condensándolo, etc., hubiéramos producido cambios regresivos. Además, para determinadas sustancias y condiciones, es posible incluso pasar directamente del estado sólido al gaseoso –como le sucede al “hielo seco” de CO2–, con lo que ahí aparece un nuevo par de cambios de fase directo-inverso.
La mejor manera de visualizar y memorizar esto es, para variar, con un diagrama, así que aquí tienes uno que hecho como he podido con Inkscape. He intentado poner más arriba las fases más energéticas, y más abajo las menos energéticas, como una especie de “escalera”:
Para producir el cambio de estado es necesario, además de llegar a la temperatura adecuada, seguir transfiriendo energía en uno u otro sentido: si el cambio es progresivo (sólido → líquido), hará falta proporcionar más energía a la sustancia, y al revés si es regresivo. De hecho, aunque en este bloque introductorio no utilicemos números, la cantidad de energía involucrada en los cambios de estado es sorprendentemente grande, muchas veces mayor que lo requerido para cambios de temperatura de muchas decenas de grados.
Esto es algo que hemos notado todos: cerca de un lago, un río o el mar, donde se produce constantemente la vaporización del agua –en este caso, como evaporación, no ebullición–, hace fresquito. La razón es precisamente la que hemos mencionado antes: para escapar del líquido y pasar a gas, las moléculas de H2O necesitan energía, que obtienen… de todo lo que tienen cerca, a través de los “empujones” habituales. Como consecuencia, tanto el agua como el aire circundante pierden energía en forma de calor, que se emplea en producir el cambio de estado.
Pero recuerda que, aunque la temperatura sea más fresca que antes, eso no quiere decir que haya menos energía en esa parte del sistema: la energía no es “evidente” pues no es cinética, pero está almacenada en la libertad de las moléculas, es decir, su elevada energía potencial. Esa energía puede hacerse evidente en otro momento si producimos el cambio contrario, condensando de nuevo el vapor de agua y desprendiendo esa energía al entorno.
La energía de los cambios de estado no sólo es algo que hemos notado, es algo que nuestra especie ha evolucionado para emplear como un sistema de termorregulación. Aunque el sudor cumple varias funciones, una de ellas es bien simple si has entendido el artículo: nos cubre con una capa de líquido más o menos caliente. Ese líquido se va evaporando y, para ello, absorbe energía de las sustancias circundantes, con lo que nos enfría.
También puedes haber notado lo contrario: cuando un día es lluvioso y el aire está muy húmedo, suele pasar, por ejemplo, que dentro de los autobuses con mucha gente dentro se condensa bastante agua sobre el interior de los cristales. Como consecuencia, al ser un cambio regresivo, se desprende energía que calienta el interior del autobús, y hace más calor dentro del que cabría esperar dada la temperatura exterior.
Esta especie de “almacenamiento invisible” de energía es utilísimo al aplicar la Termodinámica para inventar cosas como neveras o aires acondicionados, y de ahí que muchas de nuestras máquinas térmicas manejen sustancias que, además de cambiar de temperatura, cambian de estado muchas veces durante el funcionamiento de la máquina. Y es el fundamento de la utilidad de esa maravilla tecnológica que es el botijo.
El texto de [Termodinámica I] Estados de agregación , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
Entradas relacionadas: Sin embargo, esto no tiene por qué ser necesariamente así: existen otros modos en los que un cuerpo puede “almacenar” la energía térmica que recibe sin aumentar su temperatura. Y, del mismo modo, es posible perder energía térmica sin disminuir la temperatura. Ya sé que esto puede sonar un poco raro al principio, pero si has estudiado algo de Física en algún momento –si no es así no te preocupes, porque no suponemos que así sea al explicar nada–, recuerda la diferencia entre energía cinética y energía potencial, y tal vez se te ilumine la bombilla antes siquiera de que empecemos a bucear en el asunto que nos ocupará hoy: los estados de agregación.
Pero, antes de nada, la solución al desafío del artículo anterior del bloque:
Solución al Desafío 3 – Dadivitas
Aunque podría ponerme a escribir aquí los cálculos de cada paso, Unai ha creado un gráfico en el que se puede ver muy claramente la energía promedio de cada grupo de dadivitas en cada paso, de modo que puedes comprobar si has calculado bien o no de forma visual, mejor que con cualquier explicación. En el gráfico se ve cada paso, y el resultado final y número de pasos:
Aunque pueden extraerse un buen puñado de conclusiones interesantes mirando el gráfico, una de las más evidentes es que el cambio es tanto más rápido cuanto mayor es la diferencia de “temperatura”. Recuerda esto para algún bloque posterior, en el que atacaremos ese problema numéricamente.
Aunque podría ponerme a escribir aquí los cálculos de cada paso, Unai ha creado un gráfico en el que se puede ver muy claramente la energía promedio de cada grupo de dadivitas en cada paso, de modo que puedes comprobar si has calculado bien o no de forma visual, mejor que con cualquier explicación. En el gráfico se ve cada paso, y el resultado final y número de pasos:
Aunque pueden extraerse un buen puñado de conclusiones interesantes mirando el gráfico, una de las más evidentes es que el cambio es tanto más rápido cuanto mayor es la diferencia de “temperatura”. Recuerda esto para algún bloque posterior, en el que atacaremos ese problema numéricamente.
Estados de agregación
En los primeros dos artículos del bloque hemos hablado acerca de las partículas que componen un cuerpo –moléculas, átomos sueltos, lo que fuera– con mayor o menor energía cinética. Sin embargo, no hemos hablado aún de cómo esas partículas se unen unas a otras. La relación entre ellas, en un cuerpo determinado, es lo que determina el estado de agregación de ese cuerpo, a veces también fase. Tradicionalmente se definieron tres estados de agregación o fases: sólido, líquido y gas. Posteriormente se añadió uno más allá del gas (luego veremos en qué sentido “más allá”), denominado plasma. De estos cuatro estados fundamentales hablaremos hoy, pero antes detengámonos un instante para comprender qué determina estas divisiones.¡Ojo! Las divisiones están en tu cabeza
A los seres humanos nos encanta dar nombres a las cosas, y clasificarlas de acuerdo a criterios más o menos arbitrarios. Esto es muy útil, siempre que no olvidemos que los nombres y las divisiones están en nuestra cabeza: la Naturaleza no se divide en estas clasificaciones tan limpias y rígidas. Cuando hablamos de sólido y líquido, por ejemplo, se trata realmente de dos comportamientos ideales; los cuerpos reales se comportan de una manera que puede parecerse más a uno, o al otro, o estar más o menos entre ellos. Lo mismo pasa con líquido y gas e incluso con el plasma.
Digo esto porque las simplificaciones de este tipo sólo son útiles si somos conscientes de ellas y no caemos en dogmatismos. Está bien clasificar los estados de agregación de una forma más o menos sencilla, pero no olvides que al hacer ciencia solemos mirar el Universo a través de una retícula para poder manejarlo conceptualmente, pero la retícula está en nuestra mente, no en el Universo1.
Dicho mal y pronto, dado que todos los cuerpos materiales están formados por cargas eléctricas, es inevitable que entre ellas aparezcan interacciones: las moléculas de una mesa, los átomos de un trozo de oro o las moléculas de CO2 de la atmósfera no se ignoran unos a otros, sino que ejercen fuerzas electromagnéticas unos sobre otros. Aunque no sea necesario para entender este bloque, si quieres aprender más sobre ello puedes leer [Electricidad I] para ampliar esta esquelética explicación.A los seres humanos nos encanta dar nombres a las cosas, y clasificarlas de acuerdo a criterios más o menos arbitrarios. Esto es muy útil, siempre que no olvidemos que los nombres y las divisiones están en nuestra cabeza: la Naturaleza no se divide en estas clasificaciones tan limpias y rígidas. Cuando hablamos de sólido y líquido, por ejemplo, se trata realmente de dos comportamientos ideales; los cuerpos reales se comportan de una manera que puede parecerse más a uno, o al otro, o estar más o menos entre ellos. Lo mismo pasa con líquido y gas e incluso con el plasma.
Digo esto porque las simplificaciones de este tipo sólo son útiles si somos conscientes de ellas y no caemos en dogmatismos. Está bien clasificar los estados de agregación de una forma más o menos sencilla, pero no olvides que al hacer ciencia solemos mirar el Universo a través de una retícula para poder manejarlo conceptualmente, pero la retícula está en nuestra mente, no en el Universo1.
El caso es que a veces estas interacciones entre partículas son muy intensas y atractivas, de modo que –por ejemplo– los iones de sodio y cloro que forman un cristal de sal común se van “pegando” unos a otros, formando una red de enlaces que los mantiene fuertemente unidos en posiciones más o menos fijas. Es algo así como lo que sucedería si cogieras un buen puñado de imanes en forma de cubitos de hielo: se quedarían todos pegados unos a otros permanentemente en posiciones difíciles de desplazar, como una especie de cubo de Rubik. Esta situación determina el estado sólido.
Observa que digo “posiciones más o menos fijas”: incluso en el más rígido e ideal de los cristales, las partículas que lo forman se pueden mover alrededor de esas posiciones de equilibrio. La rapidez con que así vibran es precisamente, como dijimos al definir la temperatura, lo que la determina en el caso de un sólido. Lo que hace que ese cuerpo sea un sólido es el hecho de que esos movimientos no son capaces de vencer las enormes fuerzas que mantienen unas partículas “pegadas” a las demás.
Como ejemplo estúpido y con todas las limitaciones habituales, imagina el sólido como un conjunto de personas muy tímidas pero afectivas: forman lazos sociales muy fuertes pero sólo con unas cuantas personas cercanas, que llenan todas sus necesidades emocionales. En una fiesta con personas así, la gente formaría grupos de conversación de los que no se moverían. Eso sí, los grupos no están cerrados, sino que hay un solapamiento que hace que los grupos estén en posiciones fijas unos respecto a otros, con un par de personas en común entre cada par de grupos.
Sin embargo, a veces estas interacciones son débiles y no son capaces de frenar el movimiento de las partículas, como sucede en el caso del agua: el estado líquido. Entre sus moléculas hay fuerzas de atracción, pero son tenues comparadas con los movimientos moleculares. Lo que sucede entonces es que las moléculas de H2O no tienen posiciones de equilibrio, y no están unidas unas a otras permanentemente, sino que se mueven con cierta libertad. Eso sí, sigue habiendo la suficiente atracción entre ellas como para que estén unidas, pero no de forma permanente: se van “pegando” ligeramente a las moléculas que tienen al lado en un momento determinado, pero pueden seguir moviéndose y ser atraídas por la siguiente molécula cercana.
De este modo, un líquido puede fluir, es decir, sus partículas constituyentes pueden desplazarse unas sobre otras y alterar la forma del cuerpo de manera muy rápida, ya que no existen posiciones fijas como en el caso del sólido. En el ejemplo absurdo de arriba, el líquido sería el equivalente de un conjunto de personas muy sociables pero que no forman lazos sociales permanentes ni muy sólidos: en una fiesta siempre están hablando con algunas personas, pero van cambiando de grupo de conversación todo el tiempo.
Es importante que entiendas algo en lo que no se hace el suficiente énfasis, a menudo, en los libros de texto: lo que determina que algo sea un sólido o un líquido no es únicamente la intensidad de esas atracciones (fuertes para el sólido, débiles para el líquido). Es la comparación entre la intensidad de las atracciones y el movimiento de las partículas.
Imagina una sustancia cuyas fuerzas de atracción entre moléculas son brutalmente grandes. ¿Se tratará entonces de un sólido? ¡No necesariamente! Si las moléculas están moviéndose a velocidades tremendas, no hay fuerza de atracción que valga, y no será un sólido. Lo mismo puede pasar con una sustancia con fuerzas de atracción débiles: sí, puede que sean débiles, pero si las partículas que la forman apenas se mueven, pueden ser suficientes para “amarrarlas” en posiciones más o menos fijas y formar un sólido.
De modo que recuerda: no es la velocidad de movimiento –es decir, la temperatura–, ni es la intensidad de las atracciones entre partículas –que dependen, al final, de la estructura química de la sustancia–, sino de cómo se comparan ambas. De quién gane dependerá el estado del cuerpo… y no sólo para formar un sólido o un líquido, sino también los demás estados.
Por ejemplo, es posible que esas fuerzas de atracción, comparadas con el movimiento propio de las partículas, sean nulas o casi inapreciables. En ese caso no hay nada que mantenga las moléculas o átomos unidos unos a otros de ninguna manera, y cada uno se mueve a su aire, sólo notando la presencia de los otros si choca con alguno de ellos. Se trata entonces del estado gaseoso; en este caso, además de poder fluir libremente, dado que no hay nada que mantenga a las partículas unidas unas a otras, también puede cambiar el volumen, ya que las partículas pueden estar más juntas o más separadas unas de otras sin problemas.
En la analogía de la fiesta, el gas sería el equivalente a personas sin el menor interés social en los demás. En la fiesta, simplemente deambularían sin destino fijo por la habitación, pensando en sus cosas e ignorando al resto salvo que se chocasen con ellos.
Finalmente, es posible que no sólo las fuerzas que atraen a moléculas o átomos unos a otros sean mucho más débiles de lo que sería necesario para “pegarlos” entre sí dada su velocidad; es posible incluso que la violencia del movimiento sea tanta que ni siquiera las fuerzas que mantienen la estructura del propio átomo –la atracción entre protones y electrones, por ejemplo– sean capaces de mantenerlo unido, y los mismos átomos se rompan. Lo que se tiene entonces es un conjunto de “trozos de átomo” cargados eléctricamente, conjuntos de protones y neutrones con electrones a su alrededor, que se denomina plasma.
En este bloque nos centraremos, sin embargo, en los tres primeros estados de agregación; he mencionado el plasma porque la clasificación, en términos modernos, se quedaría coja sin hacerlo así. Y lo que realmente nos interesa aquí no es la propia agregación de la materia, sino su comportamiento termodinámico. De modo que ¿qué tiene que ver el estado de agregación con la temperatura? Tal vez lo hayas comprendido ya, pero lo veremos con un ejemplo concreto — el del H2O.
Cambios de fase
Imagina que tenemos un trozo de hielo muy, muy frío –dicho “en fino”, a muy baja temperatura–. Si has seguido el bloque hasta ahora, sabes que eso significa que la energía cinética –y por tanto la velocidad– de sus partículas (en el caso del hielo, las moléculas de H2O) es muy pequeña. Como consecuencia, nuestro trozo de hielo es precisamente eso, un trozo sólido. Nuestro hielo tiene muy poca temperatura y muy poca energía por partícula.Supongamos, sin embargo, que vamos calentando el hielo poniéndolo en contacto, por ejemplo, con un foco térmico: lo metemos en un horno inmenso en el que el aire está nada más y nada menos que a 1000 K. Como consecuencia, como vimos en el anterior artículo, las partículas del gas van dando empujones tremendos a las moléculas de H2O, que van ganando energía cinética más o menos rápidamente y vibrando más y más violentamente alrededor de sus posiciones de equilibrio… tanto que, eventualmente, empiezan a ser capaces de escapar de esas posiciones fijas.
Igual que si tiras una pelota hacia arriba más y más fuerte llega un momento en el que es capaz de escapar de la gravedad terrestre –aunque la velocidad es tremenda y en la realidad no podrías hacerlo con tus meros músculos–, nuestras moléculas se “liberan” hasta cierto punto: siguen estando atraídas unos a otras, pero esa atracción ya no es suficiente para mantenerlas fijas, sino que se deslizan unas sobre otras con cierta elegancia. Nuestro H2O es ahora un líquido, y se ha fundido, es decir, ha sufrido un cambio desde el estado sólido al líquido. ¡Pero un momento! Algo más, algo importantísimo, ha sucedido aquí.
La energía cinética que necesitan las moléculas de H2O para poder escapar a las cadenas de la atracción entre ellas se corresponde con una temperatura de unos 273 K a presión atmosférica, que es la temperatura de fusión del hielo. Esto significa que, según las moléculas van alcanzando esa energía cinética, van liberándose y son capaces de fluir. Pero al escapar pierden parte de esa energía cinética, es decir, se enfrían de nuevo.
¿A presión atmosférica?
La coletilla de “a presión atmosférica” al mencionar la temperatura de fusión del agua se debe a que la presión influye en el valor de esa temperatura necesaria para “romper las cadenas”. Sin embargo, dado que no hemos hablado aún del concepto de presión, por ahora nos limitaremos a trabajar ignorando ese factor; si conoces la presión, digamos que trabajaremos suponiendo que estamos en todo momento a presión atmosférica.
Si quieres conocer algo más sobre la influencia de la presión sobre los cambios de fase, siempre puedes leer acerca del funcionamiento de una olla a presión, donde tratamos específicamente este asunto.
Piensa en la piedra: si fueras capaz de lanzar la piedra con la suficiente velocidad –en el caso de la Tierra, unos 11,2 km/s–, ésta podría escapar de la gravedad terrestre y perderse en el espacio. Pero cuando escapase, su velocidad sería menor que cuando la lanzaste: según sube, se va frenando. ¿Quiere esto decir que vuelve a caer? No necesariamente, si salió con la suficiente velocidad, pero sí significa que puedes estar seguro de que la piedra va más lenta después de escapar que antes. Lo mismo les sucede a las moléculas de H2O.La coletilla de “a presión atmosférica” al mencionar la temperatura de fusión del agua se debe a que la presión influye en el valor de esa temperatura necesaria para “romper las cadenas”. Sin embargo, dado que no hemos hablado aún del concepto de presión, por ahora nos limitaremos a trabajar ignorando ese factor; si conoces la presión, digamos que trabajaremos suponiendo que estamos en todo momento a presión atmosférica.
Si quieres conocer algo más sobre la influencia de la presión sobre los cambios de fase, siempre puedes leer acerca del funcionamiento de una olla a presión, donde tratamos específicamente este asunto.
¿Quiere esto decir que, al enfriarse tras escapar, las moléculas vuelven a “caer” y quedar atrapados en el átomo? Al igual que la piedra, no necesariamente. A su alrededor hay muchas otras moléculas que les dan empujones constantemente, calentándolos de nuevo, por no hablar ya del gas a 1000 K. Pero, como puedes ver, lo que no se produce según esto sucede es un aumento de temperatura sobre los 273 K: una vez se alcanza ese valor, los moléculas van escapando de sus cadenas mutuas, enfriándose en el proceso y volviendo a calentarse según reciben los empujones de moléculas a 273 K –ya escapadas o no–.
Si una molécula ya escapada (ya “líquida”, aunque no tenga sentido al hablar de una sola) se calentase, por ejemplo, hasta 274 K, moviéndose más rápido que las que tiene alrededor, aún prisioneras o no, estaría en desequilibrio térmico con ellas: enseguida les daría un empujón mayor que las otras a ella, y acabaría otra vez a 273 K. Las moléculas, por decirlo estúpidamente, son “solidarias”: hasta que todas han logrado escapar y pueden calentarse más o menos acompasadamente, ninguna sube de 273 K, porque proporciona la energía que le sobra comparada con las demás a las que tiene alrededor.
Esto significa que, si mirásemos nuestro trozo de hielo y midiésemos su temperatura, veríamos que va subiendo desde el valor minúsculo del principio a 100, 150, 200, 250, 270, 273 K…. y entonces el termómetro dejaría de subir. Mientras el termómetro permanece fijo a 273 K, veríamos cómo el hielo se va fundiendo. Y sólo cuando todo el hielo estuviera fundido –al menos, en condiciones ideales, pues en la realidad la cosa puede ser menos elegante–, todas las moléculas ya libres de sus posiciones fijas, la temperatura volvería a subir una vez más.
Y aquí llegamos al párrafo más importante de este artículo, así que ojo avizor. Si la temperatura del H2O antes de empezar a fundirse es de 273 K, y justo después de fundido es de 273 K, ¿quiere esto decir que las moléculas de H2O tienen la misma energía antes y después? La respuesta es que tienen la misma energía cinética, ya que se mueven igual de rápido… pero no la misma energía total. Cada molécula ha almacenado otro tipo de energía –denominada energía potencial, aunque esto no nos importa mucho en este bloque–, la que fue necesaria para escapar de los lazos eléctricos de las otras moléculas.
Imagina, por ejemplo, que levantas un gran peso del suelo haciendo un enorme esfuerzo. Antes de levantarlo, el peso estaba parado. Al final vuelve a estar parado. ¿Quiere esto decir que tiene la misma energía que antes? ¡No! Ha almacenado una energía nueva, la necesaria para elevarse esa distancia en el campo gravitatorio terrestre, y esa energía es la misma que tú has gastado con tus músculos. Además de la energía cinética hay otras, como la potencial, relacionadas con fuerzas de atracción o repulsión, y esa energía es la que han ido almacenando las moléculas de H2O según el hielo se fundía.
La mejor manera de ver esto, creo, es con una gráfica. En la que ves más abajo hemos representado la temperatura en el eje de abscisas –horizontal– y la energía total por partícula (¡no sólo la cinética, ojo, sino también la debida al estado de agregación, es decir, la potencial!) en el eje de ordenadas –vertical–. Las unidades y las cantidades no nos importan demasiado ahora mismo. Como puedes ver, cuando nuestro trozo de hielo está muy frío, su energía por partícula es minúscula (ideal y clásicamente, 0 J a 0 K). Según proporcionamos energía al trozo de hielo al ponerlo en contacto con el aire caliente de nuestro horno, su temperatura va aumentando… hasta que alcanza 273 K, es decir, 0 °C: la temperatura de fusión del hielo a presión atmosférica.
Sin embargo, aunque el trozo de hielo sigue recibiendo energía del horno, la temperatura deja ahora de aumentar: la energía cinética de las partículas, en promedio, se mantiene constante. Toda la energía que recibe el trozo del hielo, al final, se va empleando en liberar las moléculas de H2O de sus lazos de sólido. Como consecuencia, cada molécula no gana energía cinética –es decir, el hielo no aumenta su temperatura– pero sí gana energía potencial: la misma que la pelota al subir en el aire. El resultado es algo así:
En el extremo inferior del segmento vertical, tenemos hielo a 273 K. Según ascendemos por ese segmento, la temperatura sigue siendo la misma, pero las moléculas van “soltándose” unas de otras y ganando así energía potencial. En otras palabras: el hielo se va fundiendo. En la parte de abajo del segmento tenemos mucho hielo aún sin fundir y un poquitín de agua ya fundida, ambos a la misma temperatura de unos 0 °C. En la mitad del segmento hay la misma cantidad de hielo que de agua, y en la parte de arriba hay ya mucha agua líquida y muy poco hielo aún sin fundir. Finalmente, en el extremo de arriba tenemos ya, por fin, todo el H2O en forma líquida, aún a la misma temperatura.
Dado que el horno está a 1000 K, nuestra agua sigue recibiendo energía térmica y, ahora sí, aumentando de nuevo la temperatura y, con ella, la violencia del movimiento de las moléculas, que ahora pueden deslizarse unas sobre otras cual invitados sociables y poco afectivos en nuestra fiesta, hasta que se alcanza otro punto importante, la temperatura de ebullición del agua –unos 373 K a presión atmosférica–:
Y ahora vuelve a suceder casi lo mismo de antes: las fuerzas de cohesión no son suficientes para mantener las moléculas de H2O ni siquiera deslizándose unas sobre otras, y las escurridizas moléculas empiezan a escapar de esa atracción: el agua está hirviendo. No voy a ser aquí tan detallado como antes, porque el concepto es casi idéntico: la temperatura se mantiene constante, cada vez hay menos agua líquida y más vapor, y la energía potencial de las moléculas aumenta aunque la cinética no lo haga. Al final del segmento tenemos ya todo nuestro H2O convertido en vapor a unos 373 K, alrededor de 100 °C:
Vaporización, ebullición y evaporación
Hay tres términos relacionados con el cambio de fase líquido-gas que se confunden a veces, de modo que merece la pena detenernos un momento en los tres. El cambio de estado en sí se denomina vaporización, que es el término más general. Aunque, como siempre, se trata de conceptos de límites borrosos, suele dividirse la vaporización en dos tipos distintos:
Cuando alguna molécula cercana a la superficie del líquido recibe, por casualidad, un golpe “hacia fuera” con la suficiente intensidad, el resultado será una molécula con menos energía dentro del líquido –la que le dio el empujón– y una molécula con suficiente energía para escapar y convertirse en un “invitado asocial”, es decir, una molécula del estado gaseoso. Evidentemente, cuanto más caliente esté el líquido, más a menudo sucederá esto y más rápida será la evaporación, que también depende de otros factores en los que no vamos a entrar en este bloque.
Pero la cosa no acaba ahí, y el H2O sigue recibiendo energía del foco térmico; ahora la temperatura vuelve a aumentar de nuevo, pues la energía cinética de las moléculas lo hace, y el vapor se calienta cada vez más:Hay tres términos relacionados con el cambio de fase líquido-gas que se confunden a veces, de modo que merece la pena detenernos un momento en los tres. El cambio de estado en sí se denomina vaporización, que es el término más general. Aunque, como siempre, se trata de conceptos de límites borrosos, suele dividirse la vaporización en dos tipos distintos:
- Cuando se trata de un proceso rápido que se produce en todo el líquido, como sucede en nuestro ejemplo de arriba, se trata de una ebullición.
- Cuando se trata de un proceso más lento que se produce en la superficie de contacto entre el líquido y el aire –con lo que debe haber aire en contacto con el líquido en alguna parte–, se trata de una evaporación.
Cuando alguna molécula cercana a la superficie del líquido recibe, por casualidad, un golpe “hacia fuera” con la suficiente intensidad, el resultado será una molécula con menos energía dentro del líquido –la que le dio el empujón– y una molécula con suficiente energía para escapar y convertirse en un “invitado asocial”, es decir, una molécula del estado gaseoso. Evidentemente, cuanto más caliente esté el líquido, más a menudo sucederá esto y más rápida será la evaporación, que también depende de otros factores en los que no vamos a entrar en este bloque.
Finalmente, nuestro vapor de agua se iría acercando cada vez más a la temperatura del horno, y una vez llegado a ese punto, dejaría de cambiar: se habría alcanzado el equilibrio térmico. Desde luego, si el horno hubiera estado lo suficientemente caliente, hubiera sido posible ir incluso más allá, hasta que empezasen a romperse las moléculas y los átomos en sus cargas constituyentes, y tuviéramos un plasma… aunque, entonces, ya no tendría sentido hablar de H2O, por supuesto.
También podríamos haber hecho nuestro experimento al revés, y la gráfica hubiera sido la misma –sólo que la hubiéramos recorrido hacia la izquierda y abajo–. Como consecuencia, hay un buen puñado de nombres que describen los posibles cambios de fase en un sentido y el otro; no me gusta dar listas de nombres a diestro y siniestro, pero aprender a veces también requiere memorizar nombres. Al menos, en la mayoría de los casos se trata de palabras bastante comunes que utilizamos a menudo.
Antes de nada, los cambios de fase que hemos descrito en el experimento fueron todos hacia estados de mayor energía, es decir, cambios progresivos. Si hubiéramos hecho el experimento al revés, enfriando vapor de agua, condensándolo, etc., hubiéramos producido cambios regresivos. Además, para determinadas sustancias y condiciones, es posible incluso pasar directamente del estado sólido al gaseoso –como le sucede al “hielo seco” de CO2–, con lo que ahí aparece un nuevo par de cambios de fase directo-inverso.
La mejor manera de visualizar y memorizar esto es, para variar, con un diagrama, así que aquí tienes uno que hecho como he podido con Inkscape. He intentado poner más arriba las fases más energéticas, y más abajo las menos energéticas, como una especie de “escalera”:
Consecuencias energéticas de los cambios de fase
Si has comprendido la descripción del proceso que sufrió nuestro bloque de hielo, no eres víctima ya de una de las falsas concepciones más comunes al hablar de los estados de agregación del agua; a saber, que si tienes agua líquida y la enfrías hasta 0 °C, se congela, es decir, pasa al estado sólido. No señor: descender hasta 0 °C –a presión atmosfércia, blah blah blah– es una condición necesaria para empezar a producir el cambio de estado, no es suficiente. A esa temperatura, como hemos visto en el ejemplo, es posible tener agua líquida, hielo o una mezcla de ambos.Para producir el cambio de estado es necesario, además de llegar a la temperatura adecuada, seguir transfiriendo energía en uno u otro sentido: si el cambio es progresivo (sólido → líquido), hará falta proporcionar más energía a la sustancia, y al revés si es regresivo. De hecho, aunque en este bloque introductorio no utilicemos números, la cantidad de energía involucrada en los cambios de estado es sorprendentemente grande, muchas veces mayor que lo requerido para cambios de temperatura de muchas decenas de grados.
Esto es algo que hemos notado todos: cerca de un lago, un río o el mar, donde se produce constantemente la vaporización del agua –en este caso, como evaporación, no ebullición–, hace fresquito. La razón es precisamente la que hemos mencionado antes: para escapar del líquido y pasar a gas, las moléculas de H2O necesitan energía, que obtienen… de todo lo que tienen cerca, a través de los “empujones” habituales. Como consecuencia, tanto el agua como el aire circundante pierden energía en forma de calor, que se emplea en producir el cambio de estado.
Pero recuerda que, aunque la temperatura sea más fresca que antes, eso no quiere decir que haya menos energía en esa parte del sistema: la energía no es “evidente” pues no es cinética, pero está almacenada en la libertad de las moléculas, es decir, su elevada energía potencial. Esa energía puede hacerse evidente en otro momento si producimos el cambio contrario, condensando de nuevo el vapor de agua y desprendiendo esa energía al entorno.
La energía de los cambios de estado no sólo es algo que hemos notado, es algo que nuestra especie ha evolucionado para emplear como un sistema de termorregulación. Aunque el sudor cumple varias funciones, una de ellas es bien simple si has entendido el artículo: nos cubre con una capa de líquido más o menos caliente. Ese líquido se va evaporando y, para ello, absorbe energía de las sustancias circundantes, con lo que nos enfría.
También puedes haber notado lo contrario: cuando un día es lluvioso y el aire está muy húmedo, suele pasar, por ejemplo, que dentro de los autobuses con mucha gente dentro se condensa bastante agua sobre el interior de los cristales. Como consecuencia, al ser un cambio regresivo, se desprende energía que calienta el interior del autobús, y hace más calor dentro del que cabría esperar dada la temperatura exterior.
Esta especie de “almacenamiento invisible” de energía es utilísimo al aplicar la Termodinámica para inventar cosas como neveras o aires acondicionados, y de ahí que muchas de nuestras máquinas térmicas manejen sustancias que, además de cambiar de temperatura, cambian de estado muchas veces durante el funcionamiento de la máquina. Y es el fundamento de la utilidad de esa maravilla tecnológica que es el botijo.
Ideas clave
Para seguir recorriendo el bloque con garantías, los siguientes conceptos deberían haberte quedado bien claritos:
Las partículas que componen las sustancias se pueden enlazar en distinto grado, produciendo los diferentes estados de agregación o fases.
Lo que determina en qué estado se encuentra una sustancia es la relación entre la intensidad de las atracciones entre partículas y la violencia del movimiento de éstas.
Suelen considerarse, como comportamientos ideales, cuatro fases que, por orden energético ascendente, son: sólido, líquido, gas y plasma.
En un sólido las partículas ocupan posiciones más o menos fijas, con lo que la sustancia no puede cambiar de forma ni de volumen.
En un líquido las partículas pueden deslizarse unas sobre otras, con lo que la sustancia puede cambiar de forma, pero no de volumen.
En un gas las partículas no tienen apenas relación unas con otras, con lo que la sustancia puede cambiar tanto de forma como de volumen.
En un plasma los propios átomos se disgregan en sus cargas constituyentes, con lo que la sustancia se comporta como un gas cuyas partículas están cargadas eléctricamente.
Los cambios de fase pueden ser progresivos –si aumenta la energía potencial de las partículas– o regresivos –si disminuye–.
Para producir un cambio de fase hace falta, además de alcanzar el estado inicial adecuado, proporcionar o robar la energía necesaria para que se produzca, y esta energía puede tener valores muy grandes.
Hasta la próxima…
Existen muchas maneras de comprobar empíricamente lo que hemos discutido hoy, de modo que la mejor manera de terminar el artículo de hoy es con un experimento relativamente sencillo pero informativo –y especialmente divertido si lo realizas con un niño de ayudante, para embarcarlo en el azaroso mundo de la investigación científica–:Experimento 1 – Evaporación y temperatura
Material necesario: dos botellas de plástico, un trapo, uno o dos termómetros de alcohol tintado –mejor que de mercurio–.
Instrucciones: Si tienes dos termómetros, puedes hacer las dos partes del experimento a la vez, que es lo ideal; si no, tendrás que hacer una parte primero, apuntar el resultado y luego realizar la segunda parte. Mi descripción, para ser más breve, supone que haces todo a la vez.
Llena las dos botellas de agua e introduce un termómetro en cada una; a continuación, empapa el trapo de agua y envuelve una de las dos botellas en él. Deja las dos botellas en algún lugar en el que nadie pueda golpearlas accidentalmente y espera unos 15 minutos.
Finalmente, mide y compara la temperatura de los dos termómetros. ¿Dónde está la energía perdida por una de las dos botellas comparada con la otra?
Material necesario: dos botellas de plástico, un trapo, uno o dos termómetros de alcohol tintado –mejor que de mercurio–.
Instrucciones: Si tienes dos termómetros, puedes hacer las dos partes del experimento a la vez, que es lo ideal; si no, tendrás que hacer una parte primero, apuntar el resultado y luego realizar la segunda parte. Mi descripción, para ser más breve, supone que haces todo a la vez.
Llena las dos botellas de agua e introduce un termómetro en cada una; a continuación, empapa el trapo de agua y envuelve una de las dos botellas en él. Deja las dos botellas en algún lugar en el que nadie pueda golpearlas accidentalmente y espera unos 15 minutos.
Finalmente, mide y compara la temperatura de los dos termómetros. ¿Dónde está la energía perdida por una de las dos botellas comparada con la otra?
- Sí, ya lo sé, nuestra mente es parte del Universo, pero seguro que entiendes lo que quiero decir. [↩]
El texto de [Termodinámica I] Estados de agregación , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
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