miércoles, enero 23, 2013

[Mecánica de fluidos I] Principio fundamental de la hidrostática | El Tamiz


[Mecánica de fluidos I] Principio fundamental de la hidrostática


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Ya llevamos tres artículos a la espalda del bloque [Mecánica de fluidos I], en el que tratamos de describir su comportamiento de manera cualitativa. Tras describir el concepto de fluido primero y sus tres tipos después, en el último capítulo hablamos sobre uno de los conceptos más importantes para comprender el comportamiento de los fluidos: la presión. Como vimos entonces, la importancia de la presión se debe a que las interacciones con un fluido –a diferencia de las que se producen con un sólido– suceden sólo con una parte del fluido, debido a la libertad relativa de movimiento de las partículas del fluido.
Tras dejar claras –espero– las causas de la existencia de la presión en los fluidos, además de la diferencia en esas causas entre líquidos y gases, hoy vamos a concretar más y a determinar juntos no ya el hecho de que los fluidos ejerzan presión (eso debería haber quedado claro en el capítulo anterior), sino cuánta presión ejercen y de qué factores depende esa presión.
Pero antes, como siempre, la solución al desafío de la entrega anterior.

Solución al desafío 2 – Presión
El desafío era fundamentalmente matemático: simplemente hacía falta tener cuidado con unidades y demás. Dado que la presión es la fuerza entre la superficie sobre la que se reparte esa fuerza, nos hacía falta calcular ambas:
La fuerza era el peso de la mesa, es decir, 200 N: 20 kg en la gravedad terrestre.
La superficie era la de las cuatro patas sobre las que se apoya la mesa. Cada pata tenía un lado de 0,2 metros, es decir, una superficie –lado por lado– de 0,04 m2. Puesto que hay cuatro patas, la superficie sobre la que se reparte el peso de la mesa es 0,16 m2.
Por lo tanto, la presión en pascales que ejerce la mesa sobre la nieve es el cociente de ambos: 200 N entre 0,16 m2, es decir, 1 250 Pa. Como se nos decía que la nieve puede soportar 5 000 Pa, la nieve resiste sin problemas. Harían falta otros 3 750 Pa “extra” para que la mesa se hundiese en la nieve.
En la segunda pregunta debemos tener en cuenta que la superficie de contacto sigue siendo la misma, 0,16 m2, pero dado que el peso aumenta según añadimos bocadillos, la presión también lo hará, hasta que supere los 5 000 y la mesa y los bocadillos se hundan.
Es posible realizar el cálculo de muchas maneras, pero aquí tienes una: cada bocadillo ejerce 2,5 N de fuerza (pues tiene 0,25 kg de masa). La presión de 2,5 N repartidos sobre 0,16 m2 –la superficie de contacto con la nieve– es de 15,625 Pa. Dado que hacían falta 3 750 Pa “extra” para hundir la mesa, eso se corresponde con 240 bocadillos.
Como digo, hay otras maneras de responder a esta pregunta, como calcular la fuerza máxima que puede ejercer la mesa, la masa máxima que puede apoyarse sobre la nieve, etc. Pero el resultado debería ser el mismo salvo que nos hayamos confundido unos u otros.

Factores de los que depende la presión en el interior de un fluido

Para empezar a comprender qué factores afectan a la presión debida a un fluido, te recomiendo que releas el desafío de antes –o que lo leas, si te lo saltaste por ser algo opcional–. Comprender la presión debida a los sólidos ayuda a entender la de los fluidos, aunque sólo sea por contraste con ella. En el ejemplo del desafío, la superficie que importaba era la de contacto entre mesa y nieve: es decir, la de la base de las cuatro patas. La mesa podría ser enorme, o tener muchas cosas encima, pero dado que es sólida, la superficie de contacto no varía.
Pero calculemos ahora la presión que ejerce el agua sobre el fondo de una piscina. Aunque éste sea un bloque introductorio, para saber qué factores incluyen tendremos que hacer algunos cálculos sencillos, pero creo que juntos y con calma lo haremos sin crear demasiada confusión. Siempre intentaré tomar el caso más simple posible para que no se compliquen las fórmulas.
Como en el caso de la mesa, necesitamos saber la superficie sobre la que se apoya el agua, pero ¡ah!, en este caso es un fluido, con lo que la cosa es fácil: el agua se apoya sobre toda la superficie del fondo de la piscina. Si la superficie del fondo es S (nos da lo mismo lo que valga), ya tenemos la superficie sobre la que se reparte el peso de la piscina: precisamente S.
El peso de la piscina es un poco más complicado, pero no mucho. Supongamos que la profundidad del agua (desde el fondo hasta la superficie del agua) es h: vas a tener que disculparme por usar esa letra, pero es la que te vas a encontrar siempre al hablar de profundidad en fluidos, de modo que prefiero que te vayas acostumbrando aunque no tenga demasiado sentido, ya que creo que es una herencia del height inglés.

¡Ojo! Profundidad ≠ altura
Este error es lo suficientemente común como para merecer su propio cuadro. Como acabo de decir, por razones históricas se utiliza la letra h para representar la profundidad de fluido, es decir, la altura desde el punto de que se trate hasta la superficie del fluido.
Como en muchas otras fórmulas de física se utiliza h para representar la altura desde el suelo, es un error muy frecuente hacer lo mismo aquí cuando la situación se presta a ello. Por ejemplo, si un submarinista está a 200 metros del fondo del mar, mucha gente inmediatamente piensa que h = 200.
Pero ese dato es absolutamente irrelevante. La presión que sufre el submarinista se debe al peso del agua que hay sobre él: da lo mismo que bajo sus pies haya 200 metros o 200 kilómetros. Lo que importa es lo que hay desde su cabeza hasta la superficie del océano, es decir, la profundidad, y no la altura sobre ninguna cosa.
Entonces, el volumen de agua de la piscina será el área de la base por la altura, es decir, Sh, y la masa de agua será el volumen por la densidad, es decir, dSh –usaremos d para representar la densidad, como hicimos al presentar esta magnitud–.
Finalmente, el peso de algo es igual a su masa por la aceleración de la gravedad g (que en la superficie de la Tierra es alrededor de 10 m/s2, pero eso nos da igual ahora mismo), así que el peso de la piscina es de dShg newtons. Dicho de otro modo, ésa es la fuerza que ejerce sobre el fondo de la piscina.
¿De qué depende entonces la fuerza que hace el agua sobre el fondo? De la densidad del fluido –cuando más denso, más pesa–, de la gravedad del lugar –en Júpiter, por ejemplo, la piscina pesaría muchísimo más que en la Tierra aun teniendo la misma masa–, de la superficie de la piscina –una olímpica tendrá mucha más agua que una de jardín–, y finalmente de la profundidad del agua –un charquito pesará mucho menos que una piscina de 4 metros de profundidad–.
Hasta aquí todo es bastante intuitivo y la mayor parte de la gente lo asimila y lo acepta sin problemas. Pero ahora viene la parte menos fácil de aceptar.
La presión es el cociente de fuerza entre superficie, de modo que para calcular la presión en el fondo de la piscina tenemos que dividir la fuerza ejercida –dShg– entre la superficie en la que se reparte –S–. De modo que la presión resulta ser simplemente dhg, ya que la superficie del numerador se cancela con la del denominador. Esto es suficientemente importante como para tener su propio párrafo y en negrita.
La presión ejercida por un fluido no depende de la superficie.
Fórmulas aparte, si una superficie se cancela con otra tiene que ser por algo, y hace falta entenderlo sin recurrir necesariamente a las matemáticas. ¿Cuál es la razón de que la superficie no influya?
Imagina una piscina olímpica, y supongamos que sufre una presión determinada en el fondo. Imagina ahora que la extendemos, de modo que todo sea igual que antes, pero con el doble de superficie: algo así como dos piscinas olímpicas una al lado de la otra. Al hacerlo hay el doble de agua que antes, con lo que la fuerza es el doble. Pero esa agua se apoya sobre el doble de superficie que antes, con lo que la presión es exactamente igual que al principio.
Columnas y presión
Si la superficie se cuadruplica sin cambiar la profundidad de la columna, la presión no cambia.
Tal vez lo veas mejor con el ejemplo del billete del capítulo anterior: un billete ejerce una presión sobre la mesa de más o menos 1 Pa. ¿Qué presión ejercen dos billetes? Quien no entiende lo que es la presión seguramente diría que 2 Pa, ¡si hay dos billetes! Pero la presión es exactamente la misma que antes: hay el doble de billetes, luego hay el doble de masa pero también el doble de superficie de apoyo. Hablamos precisamente de esto en una caja de texto de aviso de ese capítulo, de modo que si no estás convencido deberías echarle un ojo antes de seguir.

¿Y si no es una columna recta?
Es muy común preguntarse qué pasa si la cosa no es tan simple como la hemos pintado aquí. En el caso de la columna de arriba se ve claramente que, al aumentar la superficie, aumentan proporcionalmente la cantidad de agua pero también la propia superficie de apoyo, de modo que la presión no cambia. Pero ¿y si el recipiente tiene una forma diferente, de modo que la superficie cambie con la profundidad?
Por ejemplo, un recipiente de forma cónica (como un matraz), con una base más ancha que la boca… ¿tiene la misma presión en el fondo que uno de paredes verticales como las de antes? La respuesta, aunque a algunas personas al principio les cuesta aceptarlo –al menos a mí me pasó–, es que sí.
La razón es que da igual cómo hagas el cambio de superficie. Aquí no vamos a entrar a calcular casos tan raros, pero intentaré convencerte de manera cualitativa. En un recipiente que se va ensanchando según bajas hay más agua que en uno recto –tanta más agua cuanto más bruscamente aumente la superficie según bajas–. Pero, por otro lado, mayor es la base en la que se apoya el agua, con lo que un efecto se cancela con el otro.
¿Y si es al revés? Lo mismo da. Si el recipiente se estrecha, como un cuenco, de modo que la superficie en la boca sea mucho mayor que la base, al principio puede parecer que la presión abajo será mucho mayor que si las paredes fuesen rectas, ¡es una superficie de apoyo muy pequeña, pero el recipiente tiene mucha agua porque la parte de arriba es muy ancha!
Pero, ¡ah!, aquí también hay que encender la bombilla: la superficie de apoyo ya no es sólo la pequeña base del cuenco. Las paredes no son verticales, sino que parte del peso del agua se apoya sobre ellas: tanto más cuanto más horizontales estén. Si se inclinan mucho la superficie de la base será mucho más pequeña, pero las paredes a su vez, al ser más horizontales, soportan mayor parte del peso del agua, con lo que –aquí tienes que creerme porque, insisto, no voy a ponerme a calcular nada– un efecto se cancela matemáticamente con el otro y el resultado es exactamente el mismo.
Sí, aunque parezca raro, da exactamente igual la forma de las paredes del recipiente –luego veremos una ilustración con muchas y muy variadas porque da lo mismo–: la presión depende única y exclusivamente de la profundidad, la densidad del fluido y la gravedad.
También es posible que estés pensando que hago muchos aspavientos y que esto no es nada raro, sino absolutamente evidente. Bien, lo “raro” de esto es lo siguiente: imagina una piscina de 5 metros de profundidad. Como puedes imaginar, la presión en el fondo es bastante grande, y de sus efectos hablaremos más adelante. Pero ahora imagina que tomas pajitas como las de beber refresco y unes muchas hasta que tienes 5 metros de largo, y luego llenas de agua la súperpajita y la pones en vertical. La presión en el fondo de la pajita es exactamente la misma que en el fondo de la piscina.
Tan “rara” es esta idea, postulada por primera vez por el flamenco Simon Stevin, que aunque hoy en día suele conocerse como principio fundamental de la hidrostática –o de la estática de fluidos–, en el siglo XVII se la llamaba paradoja hidrostática: la idea de que la presión en el interior de un fluido depende, no de la cantidad total de fluido, sino del espesor de fluido sobre el punto de que se trate. Algunos contemporáneos de Stevin opinaban que aquello era una tontería: ¿cómo iba una cantidad tan pequeña de agua como la de una pajita tener el mismo efecto que una gruesa columna de agua?
Barril de Pascal
Experimento del barril de Pascal, 1646.
Sin embargo otro genio, el francés Blaise Pascal, respondió con un experimento memorable, el del barril de Pascal, en 1646. El bueno de Blaise llenó un barril de agua a través de un tubo muy fino y muy largo, y luego siguió echando agua en el delgado tubo. Cuando el agua subió por el tubo hasta determinado nivel –el tubo tenía 10 metros de largo–, el barril reventó debido a la presión del agua en su interior. Pascal tenía razón — lo mismo que en muchas otras cosas, en este y otros campos, y volveremos a él varias veces en este bloque.

Principio fundamental de la hidrostática

Aunque en muchos sitios ya no se llame así (llamarlo principio está un poco anticuado, ya que es posible deducirlo), aparece con la suficiente frecuencia con este nombre como para que enunciemos lo que acabamos de ver de manera formal:
La presión en el interior de un fluido en equilibrio debida a su propio peso es igual al producto de la aceleración de la gravedad por la profundidad hasta la superficie del fluido por la densidad del fluido.
Tres aclaraciones sobre esto:
  • El nombre es terrible, pero ya hablamos de ello en la introducción. Nada obliga a que el fluido sea agua, ni siquiera un líquido. Tampoco se trata ya de un principio, ya que es posible demostrarlo formalmente –aquí lo hemos hecho para un caso sencillo, pero puede hacerse en general–.
  • Esta expresión supone que todas las variables son números fijos. No vale, por lo tanto, si la densidad del fluido no es igual en todas partes o la gravedad cambia –por ejemplo, en el caso de la atmósfera la densidad del aire disminuye con la altura–. En ese caso la expresión es algo más compleja, pero los factores siguen siendo los mismos tres. De la atmósfera hablaremos en el siguiente capítulo, así que paciencia.
  • Generalmente, aunque a mí no me guste, se da una expresión más general que describe la diferencia de presión entre dos puntos arbitrarios de un fluido. Esa forma es equivalente a ésta –si una es cierta la otra también lo es y viceversa– y, en mi opinión, simplemente complica las cosas para nada, de modo que aquí te he mostrado la versión más sencilla. Si la has entendido, cuando te topes con la otra la entenderás perfectamente.
El caso es que lo interesante del principio o ecuación fundamental de la hidrostática, en mi opinión, es de lo que no depende la presión en el interior de un fluido, algo que pone de manifiesto estupendamente el experimento de Pascal: que la cantidad total de fluido es irrelevante. La presión a dos metros de profundidad en una piscina o en el lago Eire es exactamente la misma –suponiendo que la densidad del agua es igual en ambos sitios, etc.–.
Como digo, esto es difícil de aceptar. Cuando miramos una presa hidráulica, por ejemplo, y vemos las enormes paredes de la presa, pensamos (al menos yo), “Claro, hacen falta paredes muy gruesas para sostener tanta agua”, pero no es realmente así. Hacen falta paredes gruesas para sostener agua tan profunda. Si la presa tuviera la misma profundidad pero tan sólo un litro de agua (en un tubo finísimo, por ejemplo), el grosor de las paredes tendría que ser el mismo, ya que también lo sería la presión. Vale, dejo de repetir lo mismo: es que es esencial.

Vasos comunicantes

La cantidad de situaciones en las que es relevante esta idea central de la estática de fluidos es tan enorme que me es imposible aquí dar todos los ejemplos. Un caso clásico, sin embargo, es el de los vasos comunicantes: un fluido en el que es posible llegar a la superficie por más de un lugar, es decir, que tiene superficies inconexas.
Para entender el funcionamiento de un sistema de vasos comunicantes es necesario mirar el principio fundamental de la hidrostática al revés. Hemos dicho que, en un fluido en equilibrio, la presión debida al peso es igual a la densidad del fluido por la gravedad por la profundidad. Pero ¿y si no hay una sola superficie? Imagina la siguiente situación:
Vasos comunicantes
En este caso, si nos fijamos en cualquier punto del interior del fluido, ¿cuál es la profundidad? ¡Hay “dos profundidades”! Si te fijas en una superficie y luego en la otra, la profundidad no es la misma. Esto significa que no podemos aplicar el principio fundamental, ya que podríamos obtener dos valores diferentes para la presión: una referida a cada superficie. Pero, si no podemos aplicar el principio, es que no se cumple su premisa fundamental.
Este fluido no está en equilibrio.
Visto de otra manera, efectivamente, hay dos presiones: las dos columnas de fluido ejercen dos presiones diferentes, lo que supone que la parte del fluido situada, por ejemplo, en el interior del tubo que comunica ambos barriles, sufrirá dos presiones distintas, una que trata de desplazarlo hacia la derecha y otra hacia la izquierda:
Vasos comunicantes 2
De manera que el fluido se moverá hasta que la presión sea única, independientemente de “hasta cuál superficie”. En ese momento estará en equilibrio y la presión será la misma. Esto es lo que hace que, si se vierte agua con la suficiente lentitud como para que se mantenga un estado lo más parecido al equilibrio, suceda algo así:
Vasos comunicantes animación
Animación de vasos comunicantes (Waglione / CC Attribution-Sharealike 3.0 License).
Dado que la presión depende única y exclusivamente de la profundidad, y no de la forma del recipiente, es posible tenerlos de formas tan imaginativas como se quiera, pero al rellenarlos con el mismo fluido, éste alcanzará el mismo nivel en todos una vez que esté en equilibrio.
Vasos comunicantes
Vasos comunicantes (dominio público).
Éste es el principio del funcionamiento de muchísimas cosas, pero una de las más interesantes es el pozo artesiano. Cuando el nivel de la superficie del agua –aunque sea subterráneo– se encuentra por encima de donde hagamos un agujero en el suelo, tendremos una suerte de “vasos comunicantes” en los que una de las dos superficies –la del agua bajo el suelo– está por encima, mientras que la otra –la superficie donde hagamos el agujero– está a un nivel diferente. Por lo tanto sucede lo mismo que en el dibujo de los dos barriles: hay “dos profundidades” diferentes, el agua no está en equilibrio y tenderá a moverse.
Pozo artesiano
Diagrama de un pozo artesiano (modificado de Gregors / CC Attribution-Sharealike 2.0 License).
Pero claro, en este caso es dificilísimo que ambos niveles lleguen jamás a igualarse, sobre todo si la lluvia va rellenando el depósito subterráneo de agua, de manera que el agua seguirá fluyendo desde el pozo artesiano (a veces con una presión tremenda) para siempre.

Algunos ejemplos concretos

Aunque en este bloque no hagamos demasiados cálculos, siempre es conveniente tener una idea aproximada sobre el valor de magnitudes comunes. Vamos a utilizar la ecuación fundamental de la hidrostática para calcular un par de presiones en el interior de fluidos muy cotidianos, como es el caso del agua de la piscina del principio del artículo.
Cuando hablamos sobre el concepto de densidad dijimos que la del agua es de unos 1 000 kg/m3. Dado que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es de unos 10 m/s2, es muy fácil calcular la presión debida al peso del agua.
Un primer ejemplo: una piscina. En el fondo de una piscina de 3 metros de profundidad la presión es igual al producto de la densidad del agua por la gravedad y la profundidad, es decir, grosso modo, 1 000·10·3 = 30 000 Pa. Ya dijimos al definir la unidad de presión que un pascal es muy pequeño, por lo que no debe sorprender que las presiones cotidianas sean bastante grandes al expresarlas en pascales.
Para ver una presión bastante más impresionante, descendamos hasta el fondo del océano. La Fosa de las Marianas tiene una profundidad máxima de unos 11 km, con lo que la presión debida al peso del agua allí abajo es nada más y nada menos que 1 000·10·11 000 = 110 000 000 Pa. ¡Ciento diez millones de pascales! Así hacen falta batiscafos de gruesas paredes para llegar allí, claro.
En cambio, el aire es un fluido bastante ligero, como dijimos también al hablar de densidades: unos 1,2 kg/m3 al nivel del suelo. Como veremos en el siguiente capítulo, el aire es más complejo de estudiar que el agua, ya que es compresible y su densidad varía mucho con la profundidad, pero si no nos alejamos mucho del suelo esto no es un problema.
Así, un edificio de diez pisos tiene una altura aproximada de 30 metros, con lo que la diferencia de presión entre la azotea y el suelo es más o menos de 1,2·10·30 = 360 Pa. Claro, tras ver los números de antes éste parece de broma… pero es que, efectivamente, se trata de una presión muy pequeña. Recuerda los billetes: trescientos sesenta billetes, aunque sean muchos, no ejercen una presión muy grande sobre una mesa al colocarlos unos sobre otros.
Y, ya que hablamos sobre el aire, en el siguiente capítulo nos dedicaremos exclusivamente a él, ya que vivimos sumergidos en un océano tenue y sutil, pero un océano al fin y al cabo: un océano de aire. En la siguiente entrega hablaremos sobre la presión atmosférica.

Ideas clave

Para construir el resto del bloque sobre una base sólida deben haberte quedados claros los siguientes puntos:
  • La presión en el interior de un fluido debida al peso del propio fluido no depende en absoluto de la superficie ni de la forma del recipiente, si lo hay.
  • El principio fundamental de la hidrostática afirma que esa presión es igual al producto de la densidad del fluido por la gravedad y la profundidad.
  • Este principio sólo es aplicable si el fluido está en equilibrio, de modo que puede deducirse que no lo está si no se cumple el principio.
  • El fenómeno de vasos comunicantes garantiza que un solo cuerpo de fluido que rellena recipientes unidos se moverá hasta que la presión en el fondo sea la misma independientemente de qué recipiente sea el que ejerce esa presión.

Hasta la próxima…

Podríamos hacer cálculos con más presiones cotidianas, pero tú mismo puedes pensar en situaciones de la vida real y aplicar el principio fundamental de la hidrostática, de modo que no hace falte que te ponga más desafíos de ese tipo. Algo mucho más revelador, aunque no sea tremendamente fácil de hacer a bote pronto, es experimentar el principio fundamental como hizo Pascal con su barril. De modo que eso es precisamente lo que te propongo hacer de aquí al siguiente capítulo dentro de un mes.

Experimento 1 – El barril de Pascal
Material necesario: Un recipiente, un tubo, muchas pajitas, agua, imaginación.
Instrucciones: El objetivo del experimento es replicar, hasta donde sea posible, el de Pascal con el barril, el tubo y el embudo. Evidentemente es muy difícil llegar a los diez metros del bueno de Blaise, pero mi propuesta es la siguiente, sobre todo si das clase en un colegio. Intenta conseguir muchas pajitas o tubos que puedan ensamblarse unos con otros, un recipiente, un lugar donde alcanzar la parte de arriba del tubo y un grupo de niños con ilusión y, si fuera posible, grábalo y nos lo mandas o enseñas en la red.
Si consigues llegar bastante alto, para que la presión abajo sea grande, es una experiencia estupenda y permite ver “en vivo y en directo” la independencia de la presión y la cantidad total de fluido.


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