viernes, febrero 10, 2012

Las ecuaciones de Maxwell – La inspiración de la relatividad | El Tamiz

Las ecuaciones de Maxwell – La inspiración de la relatividad


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Hoy terminamos de completar la miniserie sobre las ecuaciones de Maxwell con el tercer y último anexo, dedicado al relato de cómo los problemas teóricos y experimentales derivados del carácter absoluto de la velocidad en las ecuaciones de Maxwell inspiró el desarrollo de la Teoría Especial de la Relatividad de Albert Einstein y nos permitió comprender algo realmente profundo acerca de las ecuaciones: el hecho de que, más allá de lo que hubiera sospechado el propio Maxwell, los campos eléctrico y magnético no son más que dos aspectos del mismo fenómeno y que no tiene sentido hablar de ellos por separado, ya que constituyen un único campo electromagnético.
En este anexo, por cierto, vamos a centrarnos en los aspectos directamente relacionados con las cuatro ecuaciones de Maxwell y la ley de Lorentz, y no dar una visión completa de la historia de la relatividad especial. Tampoco vamos a continuar con la propia teoría einsteniana, entre otras cosas porque ya tenemos una serie completa dedicada a ella. Para comprender la segunda parte de este anexo es esencial haber entendido algunos conceptos de relatividad, como la contracción de la longitud, de modo que si no has leído aquella serie te recomiendo que lo hagas antes de seguir aquí.
Lo que sí podemos hacer es ir más allá de lo que lo hicimos en el preludio a Relatividad sin fórmulas. Allí hablamos –como lo haremos brevemente hoy– del experimento de Michelson-Morley para detectar la velocidad de la Tierra respecto al éter, pero no de la otra cara de la moneda, la teórica: la inspiración de Einstein en las ecuaciones de Maxwell y su invariancia para desarrollar su teoría. No lo hicimos porque era imposible sin conocer las ecuaciones de Maxwell, pero ahora la cosa es diferente.
No voy a repetir en detalle los avisos del anexo anterior, porque son los mismos: aunque he hecho lo posible por explicar esto con razonamientos lo más claros posibles, esto no es fácil de entender, es abstracto, confuso y endiabladamente complicado. Así que ya puedes engrasar las neuronas y la paciencia si quieres seguir; por otro lado, si sabes de esto, deja de leer, bébete un batido, pasea al perro o haz algo más útil con tu vida que leer mis simplificaciones abyectas.
¿Listos? Pues vamos con ello.

Como dijimos al terminar el anexo anterior, la teoría electromagnética de Maxwell, aunque era de una belleza extraordinaria, presentaba un problema que se hizo evidente en las décadas posteriores a su publicación, y realmente acuciante en los últimos años del siglo. La raíz de este problema era el hecho de que en la mecánica primaba el principio de relatividad de Galileo, del que hemos hablado más en profundidad al hacerlo del italiano hace unos meses. Según este principio, cualquier experimento realizado por dos observadores diferentes que se muevan el uno respecto al otro con velocidad constante proporciona exactamente los mismos resultados para ambos: es imposible afirmar que uno está quieto y el otro se mueve. Este principio físico aún estaba presente a finales del XIX, puesto que todos los experimentos lo habían confirmado hasta entonces.
Pero las ecuaciones de Maxwell y Lorentz no eran iguales para todos los observadores: la velocidad de las ondas electromagnéticas se medía respecto al éter, y la velocidad de un cuerpo cargado que sufre la fuerza de Lorentz también. El principio de relatividad de Galileo quedaba, por lo tanto, invalidado en la práctica. El italiano sostenía que no era posible saber quién estaba parado y quién se movía, pero resolver el dilema era tan sencillo como coger una linterna y medir la velocidad de la luz. Si tú mides 300 000 km/s y yo no, es que tú estás en reposo respecto al éter y yo no. Sí existe un sistema de referencia privilegiado, un “espacio absoluto”, y ese sistema está definido por el éter.
Hasta aquí, desde luego, no hay problema experimental por ninguna parte, y el propio Maxwell estaba satisfecho con medir las velocidades respecto al éter, ya que el escocés estaba convencido de su existencia. El problema experimental surgió cuando se intentó medir la velocidad de la Tierra respecto al éter y se comprobó repetidas veces que la Tierra estaba en reposo respecto al éter todo el tiempo, ¡incluso según cambiaba de velocidad en su movimiento alrededor del Sol! No voy a dedicar más tiempo a los experimentos correspondientes porque lo hicimos en Relatividad sin fórmulas y no tendría sentido repetirlos aquí.
En lo que quiero centrarme hoy, porque es lo que inspiró a Einstein a desarrollar su teoría, es en un aspecto diferente en el que la luz no desempeña ningún papel pero que también muestra el carácter absoluto del espacio de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell; creo que a estas alturas estás preparado para afrontarlo, tras asimilar las leyes de Gauss (ambas), Faraday y Ampère-Maxwell.
Para comprender el problema inherente a las ecuaciones y las consecuencias extrañas que se derivan de ellas utilizaremos un ejemplo concreto –que no es mío, sino que es un clásico al explicar este tipo de cosas a gente que conoce las ecuaciones de Maxwell y Lorentz–. Mi objetivo con este ejemplo es, por un lado, mostrar cómo lo que observan dos personas diferentes que se mueven una respecto a la otra no es lo mismo en ambos casos, violando así el principio de relatividad de Galileo, y por otro lado cómo resolver el problema modificando nuestro punto de partida desde un espacio absoluto hacia una relatividad del espacio y el tiempo.
Imagina, como haría Maxwell, que tenemos un cable eléctrico rectilíneo e infinitamente largo, en reposo respecto al éter, por el que circula una corriente determinada. El cable tiene exactamente el mismo número de protones que de electrones, es decir, no tiene carga eléctrica neta. Los electrones del cable, eso sí, se mueven a una velocidad v hacia la derecha respecto al éter. Tú, estimado y paciente lector, estás en reposo respecto al éter, y observando lo que sucede a su alrededor. Lo que verías sería algo así (protones en reposo y electrones en movimiento):
Cable
De acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell –que tú, como observador, conoces bien– debido a esta corriente eléctrica el cable produce a su alrededor un campo magnético cuyo rotacional puedes calcular sin problemas, aunque aquí no lo hagamos. Debido a que no hay ningún campo eléctrico variable cerca, la ecuación de Ampère-Maxwell se queda sólo con la primera parte, sin la corrección de Maxwell:
\nabla \times B = \mu_0 \boldsymbol{J}
Como digo, podríamos calcular la densidad de corriente J a partir de las cargas del cable y su velocidad, y con ella el campo magnético alrededor del cable, etcétera. Pero lo importante no es eso, es el hecho de que alrededor del cable aparecerá un campo magnético como el que movía las limaduras de hierro en las experiencias de Faraday, y que “girará” alrededor del cable como si éste fuera un tornillo, de una manera parecida a ésta:
Cable y campo
Imagina ahora que situamos un protón libre y díscolo cerca del cable que se mueve hacia la derecha a una velocidad v respecto al cable:
Cable y protón
De acuerdo con la ley de Lorentz, ese protón sufrirá una fuerza magnética. Dado que, una vez más, aquí no hay ningún campo eléctrico, la fuerza de Lorentz sólo tiene el término correspondiente al campo magnético:
F = q\:\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}
Ya sé que esto parece un repaso inane a lo que ya sabes, pero paciencia. Podríamos calcular cuánto vale esa fuerza pero, una vez más, eso nos da igual; lo importante es que el protón sufre una fuerza magnética debida al campo magnético creado por el cable. Esa fuerza es, por cierto, perpendicular tanto a la velocidad del protón como al campo magnético y, aunque no sea muy importante, en este caso está dirigida hacia abajo:
Cable y fuerza magnética
Aunque estemos hablando de un problema teórico, por cierto, esto realmente sucede: si pones una carga moviéndose paralelamente a un cable por el que circula corriente, la carga sale disparada en una dirección perpendicular al cable. Hasta aquí, todo normal. Tú, como observador en reposo respecto al cable, deberías ver el protón curvar su trayectoria hacia abajo separándose del cable debido al campo magnético.
Veamos qué observo yo, que no estoy en reposo respecto al cable sino que me muevo hacia la derecha a velocidad v, exactamente la misma que la de los electrones en el cable y el protón fuera de él. Claro, como yo viajo respecto al cable a la misma velocidad que los electrones y el protón, veo parados tanto a unos como al otro. Lo que yo veo moverse es a ti y al resto del cable –es decir, los protones– a la izquierda a la misma velocidad v:
Cable b
Por lo tanto, yo también veo que el cable transporta una corriente eléctrica, en este caso debido no al movimiento de los electrones hacia la derecha sino de los protones hacia la izquierda. Curiosamente, la intensidad de corriente que veo es exactamente la misma que tú: la misma cantidad de carga –pues hay el mismo número de electrones que de protones–, la misma velocidad y, aunque aquí el movimiento es al contrario que antes, como la carga también es la opuesta –positiva en vez de negativa– la intensidad de corriente es exactamente igual que la que veías tú. Hasta aquí nos libramos de paradojas raras.
Es más, puesto que veo la misma intensidad de corriente, la ley de Ampère-Maxwell predice exactamente el mismo campo magnético que veías tú:
Cable y campo b
Pero ahora nos topamos con un problema de cuidado. De acuerdo con la ley de Lorentz, ¿qué fuerza sufrirá el protón?
Absolutamente ninguna.
Cuando hablamos de la ley de Lorentz hicimos énfasis en que el campo magnético se diferencia del eléctrico en que sólo actúa sobre cargas en movimiento. Al mirar la situación tú, la fuerza de Lorentz era F = q\:\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} , pero ahora la velocidad del protón es cero, luego el producto de esa velocidad por el resto de factores es cero, y el protón no sale disparado para ninguna parte y, desde luego, no se separa del cable.
¿Cómo es posible esto? ¿Cómo puedes tú ver que el protón se aleja del cable y yo no? La única respuesta clásica posible, desde luego, es que lo que sucede es lo que ves tú, y no yo, porque la velocidad en la ley de Lorentz es la velocidad respecto al éter, que es el sistema de referencia “de verdad” respecto al cual suceden los fenómenos electromagnéticos, luego no hay principio de relatividad galileana que valga. Tú estás parado de verdad, yo me muevo de verdad, y ambos vemos al protón separarse del cable. Sin embargo, esta respuesta producía una inmensa insatisfacción en muchos, entre ellos en el propio Lorentz, en Henri Poincaré y en Albert Einstein.
Desde luego, sería una respuesta válida si se comprobase que, efectivamente, el éter existe y es un sistema de referencia absoluto. Sin embargo, todos los experimentos que trataron de demostrar ese hecho fracasaron estrepitosamente. ¿No podría, se preguntó Einstein, haber una explicación alternativa que no violase el principio de relatividad y que predijera que tanto tú como yo observamos lo mismo?
Ése es el punto del que parte el alemán para establecer una base diferente: la suposición de que lo real es el principio de inercia –que siempre se había comprobado empíricamente– y no la existencia del éter y el movimiento absoluto –cuya existencia no había sido probada–. En 1905 Einstein publica su Zur Elektrodynamik bewegter Körpe (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento), donde establece sus dos famosos postulados y asombra al mundo con su teoría especial de la relatividad. Pero, como ves por el nombre, el origen último de la inspiración de Einstein es el electromagnetismo.
En el prólogo, inmediatamente tras explicar un experimento teórico ligeramente distinto pero equivalente al nuestro, Einstein afirma:
Otros ejemplos de esta índole así como los intentos infructuosos para constatar un movimiento de la Tierra con respecto al “medio de propagación de la luz” permiten suponer que no solamente en mecánica sino también en electrodinámica ninguna de las propiedades de los fenómenos corresponde al concepto de reposo absoluto. Más bien debemos suponer que para todos los sistemas de coordenadas, en los cuales son válidas las ecuaciones mecánicas, también tienen validez las mismas leyes electrodinámicas y ópticas, tal como ya se ha demostrado para las magnitudes de primer orden.
Queremos llevar esta suposición (cuyo contenido será llamado de ahora en adelante “principio de la relatividad”) al nivel de hipótesis y además introducir una hipótesis adicional que solamente a primera vista parece ser incompatible con el principio de la relatividad. Dicha hipótesis adicional sostiene que la luz en el espacio vacío siempre se propaga con cierta velocidad v que no depende del estado de movimiento del emisor.
Basándonos en la teoría de Maxwell para cuerpos en reposo, estas dos hipótesis son suficientes para derivar una electrodinámica de cuerpos en movimiento que resulta ser sencilla y libre de contradicciones. La introducción de un “éter” resultará ser superflua puesto que de acuerdo a los conceptos a desarrollar no es necesario introducir un “espacio en reposo absoluto”, ni tampoco se asocia un vector de velocidad a ninguno de los puntos del espacio vacío en los que se llevan a cabo procesos electromagnéticos.
A partir de ahí, el alemán realiza los razonamientos que ya vimos en Relatividad sin fórmulas y obtiene cosas sorprendentes. Otros además de él habían ya intentado dar soluciones teóricas parciales al problema: Hendrik Lorentz, George Francis FitzGerald, Heaviside y sobre todo Henri Poincaré sugirieron hipótesis y teorías que resolvían varios de los problemas planteados por la incongruencia entre el carácter absoluto del electromagnetismo y el relativo de la mecánica.
De hecho, una de las posibles explicaciones al fracaso del experimento Michelson-Morley, sugerida por FitzGerald, era que al moverse respecto al éter, las fuerzas eléctricas y magnéticas que mantienen las moléculas unidas unas a otras se ven afectadas de modo que se produce una contracción en la longitud de los objetos en la dirección del movimiento, lo cual altera los valores de la velocidad de la luz medidos en el experimento. Pero ninguno llegó tan lejos como Einstein, ni de una forma tan limpia, ni desterrando ideas anteriores que no tenían verificación experimental, ni con tal cantidad de conclusiones verificables empíricamente.
Curiosamente, esta contracción de la longitud sugerida por FitzGerald y demostrada por Einstein a partir de sus dos postulados resuelve la aparente contradicción de nuestro experimento en un plis-plas. Quiero dar esta breve explicación no sólo por el puro placer de ver la relatividad en acción (por eso decía al principio que sin entender algo de relatividad esto no se puede seguir), sino porque la conclusión que se obtiene a partir de ella debería llevarte a mirar E y B de otra manera. Si lo hacemos bien tanto tú como yo, debería haber en un momento dado un “encendido de bombilla” de esos que se recuerdan. Veremos.
Retrocedamos al ejemplo del cable y a lo que yo, que me movía respecto a él a la misma velocidad que los electrones y el protón:
Cable b
Pensemos en lo que yo veo relativísticamente hablando. Los protones del cable se mueven hacia la izquierda luego, de manera inevitable, van a estar más cerca unos de otros de lo que estaban en reposo. De modo que, teniendo en cuenta la relatividad, lo que yo veo se representa más fielmente así:
Cable relativista
Los protones están más “apretados”, lo cual sería simplemente un efecto curioso pero no relevante, si no fuera por un pequeño detalle tan importante que lo voy a poner en su propia línea y en negrita:
El cable ya no es neutro.
La distancia entre protones se ha acortado, luego en la región cercana al protón y que nos interesa hay los mismos electrones de antes, pero hay más protones que antes. Como ves en el dibujo, ahora el cable tiene carga eléctrica neta positiva. De acuerdo con la ley de Gauss para el campo eléctrico, por lo tanto, la divergencia del campo eléctrico alrededor del cable será también positiva:
\nabla\cdot\boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
Por lo tanto, el campo eléctrico “sale” del cable y en la posición del protón irá hacia abajo:
Cable relativista
y el protón sufre sus efectos de acuerdo con la ley de Lorentz. Ya vimos que el efecto del campo magnético que yo observo sobre el protón es nulo, puesto que el protón no se mueve, ¡pero ahora tenemos un campo eléctrico! La fuerza que sufre el protón será por tanto
F = q\:\boldsymbol{E}
Esa fuerza irá en la dirección del campo eléctrico, es decir, alejándose del cable:
Cable relativista y fuerza
¡Ahora todo encaja! El protón, debido a la fuerza de Lorentz causada por el campo eléctrico, es repelido por el cable y se aleja de él, exactamente lo mismo que veías tú desde tu sistema de referencia, de modo que es una vez más imposible saber quién se mueve y quién está parado. La relatividad ha salvado el día y podemos dormir tranquilos… salvo por otro pequeño detalle.
Sí, el protón es repelido por el cable y ambos lo vemos, pero ¿por qué es repelido exactamente? Tu explicación es clara: la corriente del cable crea, de acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell, un campo magnético. El protón es una carga en movimiento en el seno de un campo magnético luego sufre una fuerza que lo separa del cable. Mi explicación es igualmente clara: la contracción en la longitud de los protones del cable hace que éste tenga carga neta positiva. Como consecuencia de la ley de Gauss, crea a su alrededor un campo eléctrico que apunta “hacia fuera” del cable, y ese campo eléctrico empuja al protón alejándolo del cable.
¿Quién ha repelido al protón? ¿El campo magnético, como dices tú, o el campo eléctrico, como digo yo? ¿Quién tiene razón?
Como dije tantísimas veces en Relatividad sin fórmulas, los dos tenemos razón, y la pregunta no tiene sentido. Pero las consecuencias de esto son bastante más profundas de lo que puede parecer en un principio.
Cuando yo observaba lo que sucedía, moviéndome respecto al cable, apareció un campo eléctrico que no existía en el sistema de referencia del propio cable como consecuencia del movimiento relativo entre protones y electrones (pues si ambos se hubieran movido igual, no habría habido carga neta positiva, ya que ambos se habrían contraído del mismo modo). Dicho con otras palabras, el campo eléctrico es un efecto relativista del campo magnético.
Pero la cosa no acaba aquí. Recuerda que nadie tiene razón: es igualmente válido razonar al revés (o inventar un experimento mental diferente con un cable distinto) y ver cómo el campo magnético aparece como consecuencia de un desequilibrio de carga y movimiento relativo, de modo que ese campo magnético produzca el mismo efecto que producía el eléctrico original: el campo magnético es un efecto relativista del campo eléctrico.
No es que uno de los dos sea el “campo de verdad” y el otro una “consecuencia relativista”, no. Hay un solo campo electromagnético, y dependiendo de cómo nos movamos respecto a los objetos lo notamos –y llamamos– como “campo eléctrico” o “campo magnético”, y sus efectos son idénticos tanto en un caso como en otro cuando se aplica la relatividad con cuidado. Damos los nombres a las dos caras de la moneda, pero la moneda es sólo una.
Una vez asimilado esto –y no es fácil–, la ecuación de onda de Maxwell no resulta tan sorprendente, ¿verdad? Los campos eléctrico y magnético están tan entrelazados entre sí que no son más que aspectos de una misma realidad física, luego no resulta sorprendente en absoluto que se afecten el uno al otro como lo hacen de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell. Tampoco lo es el hecho de que hablemos tantas veces del campo electromagnético sin distinguir una de sus facetas de la otra — no es simplemente una manera de hablar, es un modo de reflejar la realidad más profunda que se esconde tras ambos, aunque para comprender esa naturaleza común haga falta entender las ecuaciones de Maxwell y la relatividad, al menos hasta cierto punto.
Y con esto y un bizcocho, despedimos esta miniserie. Espero que hayas disfrutado leyéndola lo mismo que yo escribiéndola –pero ojalá con menos esfuerzo–, y que hayas aprendido cosas que de otro modo se te hubieran escapado. Y, la próxima vez que veas las ecuaciones del buen James, échales una sonrisa, que se lo merecen.
Nota: Una vez este artículo haya pasado vuestro filtro (erratas varias y demás) recopilamos la serie en un librito electrónico y lo anunciamos en cuanto esté listo.
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