domingo, diciembre 25, 2011

Las ecuaciones de Maxwell – Ley de Ampère-Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell – Ley de Ampère-Maxwell


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Ya casi hemos terminado con nuestra mini-serie sobre las ecuaciones de Maxwell, en la que pretendemos dar una idea de lo que significa cada una de las cuatro ecuaciones e intentar transmitir el porqué de su belleza e importancia (seguramente haya un par de “anexos” a las cuatro ecuaciones, pero de eso hablaremos más adelante). Tras la introducción histórica, hemos destripado ya la ley de Gauss para el campo eléctrico, la ley de Gauss para el campo magnético y la ley de Faraday. Antes de zambullirnos en la cuarta de las ecuaciones, un breve recordatorio muy rápido de lo que las tres que ya conocemos nos dicen sobre el electromagnetismo, aunque sea simplemente para que disfrutes de lo que sabes:
  • \nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}; Las líneas de campo eléctrico nacen en las cargas positivas y mueren en las negativas.
  • \nabla \cdot B = 0; Las líneas de campo magnético no tienen principio ni fin, son siempre cerradas.
  • \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}; Un campo magnético variable en el tiempo produce un campo eléctrico incluso en ausencia de cargas, y el campo eléctrico producido es perpendicular a la variación del campo magnético.
La ecuación de hoy es, matemáticamente, la más compleja y larga de las cuatro, ¡pero no te preocupes! Tenemos una ventaja enorme: ya no eres el mismo que antes de empezar la primera ecuación. A estas alturas, tras ver las otras tres, ya estás curtido y creo que tal vez la más difícil de las cuatro a priori se convierta en una de las más sencillas; veremos. En cualquier caso, desentrañemos los secretos de la ley de Ampère-Maxwell, a veces llamada simplemente ley de Ampère (en un momento veremos por qué prefiero el nombre más largo).

Como siempre, antes de entrar en detalles, aquí tienes la ecuación en cuestión en todo su esplendor intimidatorio:
Ley de Ampere-Maxwell
Tampoco es tan terrible, ¿verdad? Hay algún símbolo que no ha aparecido hasta ahora, pero casi todos son ya viejos conocidos. Como puedes ver, a la derecha del igual hay una suma de dos términos, que es la razón del peculiar nombre de esta ley: el primer término fue propuesto por Ampère y el segundo por el propio Maxwell.
Sin embargo, el primer héroe en esta historia no es ni el uno ni el otro, sino Hans Christian Ørsted. Como dijimos en la introducción histórica, en 1820 este danés realizó un experimento crucial en el estudio del electromagnetismo: al conectar un circuito con una pila y un cable, observó que alrededor del cable aparecía un campo magnético que podía hacer girar una aguja imantada –como la de una brújula–. No se trató de un descubrimiento accidental, por cierto: Ørsted ya sospechaba que existía una conexión entre los fenómenos eléctricos y magnéticos, y la llevaba buscando ya tiempo.
Aunque el propio Ørsted no fue capaz de obtener una ecuación matemática que describiese el campo magnético generado por una corriente eléctrica, sí pudo describir lo que sucedía de manera general tras una batería de experimentos, y todas las propiedades del campo magnético eran bastante intuitivas excepto una:
  • El campo magnético era tanto más intenso cuanto mayor era la intensidad de la corriente eléctrica (una proporcionalidad directa a la intensidad).
  • El campo magnético era tanto más intenso cuanto más cerca del cable era medido (una proporcionalidad inversa a la distancia).
  • El campo magnético nunca se dirigía hacia el cable, sino que era exactamente perpendicular a él en todos los puntos, como si “rodease” el cable.
Las dos primeras características, como digo, parecen razonables. La tercera es algo más extraña; el campo eléctrico “nace” y “muere” en sus fuentes, las cargas eléctricas, pero el campo magnético en los experimentos de Ørsted no hacía lo mismo. El danés esperaba que las líneas del campo magnético se dirigieran alejándose del cable o acercándose hacia él, pero no que hicieran algo como esto, que es lo que se observa al esparcir limaduras de hierro alrededor de un cable recorrido por una corriente eléctrica (y que seguro que has visto alguna vez):
Limaduras de hierro y cable
Limaduras de hierro orientadas alrededor de un cable (A, dirigido perpendicularmente al papel). Popular Science Monthly, 1895 (dominio público).
Era como si el cable fuera el centro de un “remolino”, el origen de una especie de turbulencia en el campo magnético. ¿Te suena esto? Sí, naturalmente que sí — el bueno de Ørsted, aunque no lo expresase en estos términos, estaba esperando que la corriente eléctrica originase una divergencia del campo magnético, pero lo que estaba sucediendo es que la corriente eléctrica producía un rotacional dirigido en el sentido de la propia corriente –si no sabes de lo que estoy hablando es que no has empezado estos artículos desde el principio, algo que seguramente deberías hacer–.
Cuando los resultados de Ørsted llegaron a Francia despertaron un enorme interés en André-Marie Ampère. En una semana, el francés publicó ya una descripción más rigurosa y detallada de lo que había sucedido en esos experimentos, e incluso explicó fenómenos adicionales, como el hecho de que dos cables recorridos por sendas corrientes eléctricas podrían repelerse o atraerse dependiendo de los sentidos de las corrientes.
En los años siguientes, Ampère se dedicó al estudio de lo que por entonces se denominaba electrodinámica y hoy electromagnetismo. En 1826 publicó una ley matemática que explicaba la experiencia de Ørsted y muchas otras: una ley matemática que postulaba las corrientes eléctricas como las fuentes del campo magnético. Aunque esa ley tenía una forma ligeramente diferente a la que utilizamos aquí, es equivalente a ella. Podríamos escribir esta ley de Ampère así:
Ley de Ampere
Si la comparas con la versión moderna del principio del artículo, verás que falta el segundo término, del que hablaremos luego pues fue introducido por James Clerk Maxwell y no existía en la original. Examinemos esta versión del buen André-Marie paso a paso, como hemos hecho antes.
Como puedes ver, el miembro de la izquierda, \nabla \times B, no es más que el rotacional del campo magnético. Al igual que la ley de Gauss para el campo magnético era la contrapartida para ese campo de la ley de Gauss para el campo eléctrico, la ley de Ampère es la contrapartida para el campo magnético de la ley de Faraday para el eléctrico — como dijimos en entradas anteriores, las cuatro ecuaciones van “a pares”.
Por tanto, esta ecuación nos informa sobre el rotacional del campo magnético, es decir, sobre el modo en el que las líneas de campo “giran” alrededor de cada punto del espacio, del mismo modo que la ley de Faraday hacía lo propio con el campo eléctrico. Esta vez el miembro de la derecha no es nulo como sucedía en el caso de \nabla \cdot B = 0, con lo que hoy no hablaremos de cómo no se comporta el campo magnético. En esta ocasión hablaremos de sus fuentes primarias.
El miembro de la derecha es bien simple, \mu_0 J. La letra griega mu con el subíndice 0, \mu_0, apareció de pasada en un artículo anterior, y es parecida a \epsilon_0 –la constante eléctrica o permitividad eléctrica del vacío–; en este caso \mu_0 recibe el nombre de permeabilidad magnética del vacío o, a veces, constante magnética. Se trata de una constante universal cuyo valor, aunque no sea importante ahora mismo, es 4\pi \cdot 10^{-7}\:NA^{-2}. Sí será importante en uno de los anexos, pero lo relevante ahora es que es una constante.
Por otro lado, esa J es lo único realmente nuevo en la ecuación de hoy, y constituye, ¡por fin!, la fuente básica de los campos magnéticos. Se trata de la densidad de corriente eléctrica, y es parecida a la densidad de carga eléctrica que apareció en la ley de Gauss para el campo eléctrico. Si J es muy grande en un punto determinado, es que hay concentrada allí una gran intensidad de corriente eléctrica, y si en un punto J = 0 eso significa que allí no hay corriente alguna.
Si la intensidad de corriente es algo que no conoces, mi recomendación es que leas el artículo específico en el que hablamos sobre ella, pero si no te apetece leer mucho, una descripción muy breve: una corriente eléctrica no es más que un conjunto de cargas eléctricas en movimiento. Cuanta más carga se mueva cada segundo (ya sea porque hay mucha carga moviéndose, o porque la carga que hay se mueve muy deprisa), mayor intensidad de corriente existe. La intensidad se mide en amperios (A), en honor a uno de nuestros héroes de hoy, por supuesto.
J es la densidad de corriente, de modo que indica la intensidad que atraviesa cada metro cuadrado de superficie. Podríamos entrar en sutilezas sobre esto, pero no nos hace ninguna falta: un cable recorrido por una corriente eléctrica tiene una densidad de corriente J determinada (tanto mayor cuanto mayor sea la intensidad que circula por el cable), pues hay electrones circulando por él. Y la dirección de J será la del cable, pues es la dirección en la que se mueven las cargas.
Sin embargo, como puedes ver en la ecuación, \nabla \times B = \mu_0 J. Dicho con palabras, la dirección de la corriente no coincide con la del campo magnético, sino con el “eje de giro” del rotacional. Si recuerdas nuestro ejemplo de la pelota y el agua que la hacía girar, en este caso el “agua” es el campo magnético, y el eje de giro de la pelota es la corriente eléctrica, con lo que el campo magnético “gira” alrededor del eje definido pr el cable:
Rotacional de B, Ley de Ampere
Desde luego, como dijimos en la ley de Faraday, no hay nada “girando”: como se ve en la fotografía de las limaduras de hierro y el cable, lo que realmente sucede es que el campo magnético es siempre perpendicular a la línea que une cualquier punto con el cable, como la rueda de una bicicleta y sus radios: el cable eléctrico es el eje de la rueda, y el campo magnético tiene la dirección del neumático, perpendicular a los radios. Naturalmente, esto no es sorprendente ni determina lo que sucedió cuando Ørsted puso las limaduras alrededor del cable, sino justamente al revés: esta ley es una expresión elegante y precisa del conocimiento adquirido por el danés y por Ampère.
Por lo tanto, esta primera parte de la ley de Ampère-Maxwell nos dice algo esencial: las fuentes primarias del campo magnético son las corrientes eléctricas, es decir, las cargas en movimiento. Como puedes ver, combinando esta ley con la de Gauss para el campo eléctrico, las fuentes últimas de ambos campos son las cargas eléctricas: sin ellas no habría ni un campo ni el otro. La diferencia entre ambos es que para que exista un campo eléctrico simplemente hacen falta cargas. Sin embargo, para que exista un campo magnético tienen que existir cargas que se muevan, es decir, corrientes eléctricas. Esto lleva a reflexiones curiosas de las que hablaremos en los anexos.
Antes de seguir, recordarás que al hablar de la ecuación equivalente a esta pero para el campo eléctrico, la ley de Faraday, dijimos que tendría una forma diferente de existir las cargas magnéticas. Bien, ahora que hemos visto la primera parte de la ecuación de hoy creo que la anterior “modificada” para incluir las hipotéticas cargas o monopolos magnéticos debería ser clara y meridiana.
Recordarás que, de existir cargas magnéticas, éstas serían las fuentes de la divergencia del campo magnético, lo mismo que las cargas eléctricas lo son del campo eléctrico. Pero hoy hemos visto que las cargas eléctricas en movimiento generan un rotacional del campo magnético (es decir, del “otro campo”), con lo que también podría pasar lo contrario: de existir cargas magnéticas en movimiento, éstas generarían un rotacional del campo eléctrico.
De este modo, la ley de Faraday pasaría de su forma original, en la que la estudiamos, \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, a tener un término nuevo debido a las cargas magnéticas, \nabla \times E = - (\frac{\partial B}{\partial t} + \mu_0J_m). Una vez más, se trata de una ecuación hipotética y no tiene sentido tomársela demasiado en serio hasta que se detecte algún monopolo magnético, pero cuando mires las cuatro ecuaciones juntas creo que estarás de acuerdo conmigo en que son más elegantes incluyendo cargas magnéticas.
Pero volviendo a la ecuación de hoy, el caso es que, tal como está escrita, la ley de Ampère no es completa. James Maxwell se percató de que, al igual que un campo magnético variable produce un campo eléctrico “de la nada”, como vimos en la ley de Faraday, también sucede lo contrario: un campo eléctrico variable produce un campo magnético.
Expresado matemáticamente, esto significa que la ley de Ampère requiere de un término más:
Ley de Ampere-Maxwell
Ahora sí está completa, y ves el porqué del nombre de ley de Ampère-Maxwell: ambos científicos contribuyeron parte de ella, aunque desde luego la mayor parte del mérito es del francés. Como puedes ver, en esta ecuación aparecen además las dos constantes, la eléctrica y la magnética, que hemos mencionado en estos artículos. El significado físico del término nuevo debería, a estas alturas, estar bastante claro: un campo eléctrico variable produce un rotacional del campo magnético, incluso en ausencia de corrientes.
De modo que, una vez más, vemos cómo uno de los dos campos, de variar en el tiempo, puede producir una especie de perturbación que hace aparecer al otro. En este aspecto son completamente simétricos: cualquiera de los dos, de ser variable, produce un rotacional del otro campo. De hecho, parece casi como si pudiéramos “hacer trampa” y sacar campos de la nada: un campo eléctrico que varíe y produzca un campo magnético que varíe y que, por tanto, produzca un campo eléctrico que… raro, ¿no?
De ese asunto y la relación íntima entre ambos campos hablaremos en el primero de los anexos a esta mini-serie. Pero, antes de eso, ahora que ya son viejas conocidas para ti, terminemos este artículo con las cuatro juntas. Si tanto tú como yo hemos hecho bien nuestro trabajo, ya no deberían producir desasosiego, sino una sonrisa de complicidad:
\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
\nabla \cdot B = 0
\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}
\nabla \times B = \mu_0 J + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}
Observa ahora las mismas cuatro ecuaciones pero considerando la existencia de cargas o monopolos magnéticos; como siempre, he representado la densidad de carga magnética como \rho_m y la densidad de corriente magnética como J_m:
\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
\nabla \cdot B = \mu_0 \rho_m
\nabla \times E = -(\mu_0 J_m + \frac{\partial B}{\partial t})
\nabla \times B = \mu_0 J + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}
Como puedes ver, constantes aparte (el valor de las constantes depende del sistema de unidades que empleemos), la versión que incluye cargas magnéticas tiene una simetría mucho mayor. Naturalmente, el placer estético que produce una ecuación no es un factor que determine que sea cierta o no — aquí lo importante es si se detectan o no monopolos magnéticos y, por ahora, es que no.
En cualquier caso, en el primer anexo hablaremos sobre la ecuación de ondas electromagnéticas, que resulta de la manipulación de estas cuatro ecuaciones y constituye uno de los mayores logros de James Clerk Maxwell. Hasta entonces.

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