2011 06 15
[Mecánica Clásica I] Velocidad
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En el primer artículo de verdad del bloque introductorio a la Mecánica Clásica hablamos acerca de sistemas de referencia y coordenadas, además del concepto de grados de libertad, de modo que al final del artículo fuimos capaces de definir la posición de un objeto y de determinar si se movía o no. Como tal vez recuerdes si leíste aquel artículo, lo terminamos preguntándonos cómo cuantificar lo rápido o despacio que se había movido el objeto. Hoy seguiremos por ese camino pero, como siempre, antes de nada daremos la respuesta al desafío que planteamos entonces.
Para saber lo rápido que ha sido el movimiento de la mosca nos hace falta saber, evidentemente, el tiempo que ha tardado en subir ese medio metro. Imaginemos, por ejemplo, que entre ambos puntos han transcurrido dos segundos. Podemos hacer dos cosas; por un lado, tener una idea cualitativa de lo rápido que ha sido el movimiento — la mosca se ha desplazado medio metro en dos segundos, luego se ha movido 25 cm cada segundo, es decir, 0.25 m cada segundo…. bastante lenta.
Esta magnitud –en el caso de la mosca, 0.25 metros por cada segundo– nos indica lo veloz que ha sido la mosca y recibe el nombre técnico de rapidez. Casi siempre que en el lenguaje cotidiano hablamos de velocidad, el concepto de Mecánica al que nos estamos refiriendo realmente es al de rapidez o celeridad, que indica exactamente lo que sugiere su nombre:
Esta magnitud recibe el nombre de velocidad y, como puedes ver, es más compleja que la rapidez pero también muchísimo más útil:
En cualquier caso, dado que en la vida cotidiana no suelen emplearse los metros por segundo, no es fácil para nosotros imaginar lo que realmente significa; por si te sirve de aviso, casi siempre que alguien ve una velocidad en metros por segundo le parece que es muy grande. Como referencia, aquí tienes algunas rapideces típicas en metros por segundo, de modo que puedas asimilar otros valores por comparación:
Nuestra mosca –o el objeto que sea– puede realizar, desde luego, multitud de movimientos diferentes; puede subir, luego bajar, hacer una vuelta en el aire, pararse un rato y después salir disparada hacia la puerta de la habitación. Sin embargo, aunque los posibles movimientos sean legión, la mosca puede hacer algo especial y muy concreto: lo mismo todo el tiempo. Dicho de otro modo, la mosca puede cambiar su movimiento de maneras muy diversas, o puede no cambiarlo en absoluto. Si hace lo último, se dice que realiza un movimiento uniforme.
Una manera más técnica de definir este tipo especial de movimientos –que, como digo, son absolutamente fundamentales en Mecánica– es la siguiente:
Supongamos que la mosca está, como en el ejemplo que venimos usando todo el rato, en (1.5, 2, -0.5) y se mueve con una velocidad de (0, 0, 0.25) m/s. Si la mosca realiza un movimiento uniforme, no nos hace falta saber más: con esto podemos predecir exactamente dónde va a encontrarse en cualquier otro instante. Por ejemplo, ¿dónde estará a los cuatro segundos? Dado que recorre 0.25 metros cada segundo hacia arriba, en 4 segundos habrá subido 1 metro; dicho de otro modo, su desplazamiento será de (0, 0, 1) metros y por tanto tenemos su posición final: (1.5, 2, 0.5) metros. Pero esto sólo será verdad, claro está, si la mosca mantiene esa velocidad de (0, 0, 0.25) m/s todo el tiempo — si no es así, lo que sucede dependerá de cómo cambia la velocidad y es algo que, por ahora, no nos preocupa. Lo que sí debemos tener claro es que si al cabo de 4 segundos la mosca no está “donde debería” –es decir, en (1.5, 2, 0.5)–, es que no ha realizado un movimiento uniforme.
Dada la importancia de los movimientos uniformes, éstos proporcionan además un estatus especial a los sistemas de referencia. Ya dijimos que podemos elegir como sistema de referencia lo que nos dé la gana, y cualquier sistema de referencia es tan válido como cualquier otro, pero unos tienen una “etiqueta de calidad” que otros no tienen. Cuando un sistema de referencia sigue un movimiento uniforme, se denomina sistema de referencia inercial, y las leyes físicas, como veremos en breve, se describen de una manera especialmente sencilla en ellos. Ésta es una de las razones de que identificar los movimientos uniformes sea importante: que algo siga un movimiento uniforme lo hace un candidato excelente a sistema de referencia fetén, es decir, inercial.
Pero, además, este tipo de movimientos son bellos por su propia simplicidad: observa cómo, conocidos sólo dos datos –posición inicial y velocidad–, es posible predecir el comportamiento del sistema mientras el movimiento siga siendo uniforme. De ahí que sea tan común utilizar este tipo de movimientos en los colegios, ya que permiten extraer conclusiones a partir de datos sencillos y cálculos simples. Por otro lado, los sistemas físicos más interesantes no suelen abundar en movimientos uniformes, pero se trata de un buen “trampolín” para atacar luego otros movimientos más complejos.
Supongamos que nuestra mosca empieza en (0, 0, 0) y se pone a volar durante 2 segundos hacia arriba a 1 m/s en un movimiento uniforme. Sin embargo, al cabo de 2 segundos decide irse hacia la derecha con la misma rapidez. Finalmente, 2 segundos más tarde, decide volver a bajar una vez más a 1 m/s, también durante 2 segundos. Dibujemos el movimiento completo de la mosca, que ha tenido tres tramos de 2 segundos cada uno (y, por tanto, de 2 metros de longitud cada uno, ya que el bicho vuela siempre a 1 m/s):
El movimiento completo de la mosca ha durado 6 segundos, y no es un movimiento uniforme: aunque siempre se mueve igual de rápido, la mosca no sigue una línea recta. En términos de velocidad, al principio la velocidad era (0, 0, 1), luego se convirtió en (1, 0, 0) y finalmente en (0, 0, -1) cuando el insecto bajaba. Ha cambiado de velocidad –que no de rapidez– dos veces en el trayecto. Desde luego, cada uno de los tres tramos por separado sí es un movimiento uniforme, pero no el conjunto de los tres.
Pero olvidemos por un momento el hecho de que la mosca ha zigzagueado por la habitación, y centrémonos en dónde empezó y dónde terminó. Empezó, como hemos dicho, en (0, 0, 0), es decir, el centro de la habitación, y terminó en (2, 0, 0), dos metros a la derecha del centro de la habitación. Por lo tanto, su desplazamiento ha sido de (2, 0, 0) — se ha movido dos metros a la derecha, pero dicho en términos de vectores. Si nos olvidamos de lo que ha sucedido entre medias, ¿cuál es el resultado neto de todo esto en términos de velocidad? Que la mosca se ha desplazado (2, 0, 0) metros en 6 segundos: en otras palabras, que la velocidad media de la mosca es de (2/6, 0, 0) m/s, es decir, (1/3, 0, 0) m/s.
La posición inicial es la salida, y la posición final es… una vez más, la salida. Al cabo de una vuelta completa, el coche termina exactamente donde empezó, con lo que su desplazamiento es (0, 0, 0)… lo cual supone que, independientemente de cuánto haya durado la vuelta, al no haberse desplazado de manera neta, su velocidad media es (0, 0, 0) m/s. Raro, ¿no? Sin embargo, si piensas en la definición alternativa de velocidad media, es bastante lógico: si un coche fantasma empezase donde el coche real, ¿qué velocidad debería haber llevado en un movimiento uniforme para terminar donde él? Pues una velocidad nula… simplemente quedándose parado, el coche real hubiese acabado con él tras dar la vuelta.
Por eso, si ves carreras de Fórmula 1 en la televisión, allí no se mide la velocidad media –aunque así la llamen y todos nos entendamos–, ya que sería siempre nula o prácticamente nula. No, lo que miden es algo diferente, y seguro que ya sabes a lo que me refiero.
Lo que nos hace falta es olvidarnos del hecho de que el movimiento ha seguido una trayectoria curva (la forma del circuito), ya que la celeridad no se preocupa de la dirección del movimiento sino de cuánto movimiento se ha producido: es irrelevante que el movimiento termine en el mismo punto en el que empezó porque, aunque así sea, el coche sí ha recorrido una distancia –la longitud del circuito–. Para tener una imagen visual de esto, imagina que ves el mapa del circuito a vista de pájaro:
Olvidémonos del desplazamiento, y pensemos en lo que ha marcado el cuentakilómetros del coche, y lo que han recorrido sus ruedas. Básicamente, despleguemos la trayectoria que ha seguido el coche, de modo que podamos medir su longitud despreocupándonos de curvas y demás zarandajas:
Seguro que ahora sí ves cómo calcular la celeridad media: es la distancia que ha recorrido el objeto a lo largo de su trayectoria entre el tiempo que ha tardado en recorrer esa distancia. Lo que nos interesa, por lo tanto, no es el desplazamiento, sino la longitud recorrida a lo largo de la trayectoria del objeto.
Ya que en este artículo nos hemos centrado en la diferencia entre movimientos uniformes y los que no lo son, en el próximo hablaremos precisamente de los no uniformes para identificar diferencias entre ellos, y definiremos la primera de las magnitudes que suele crear problemas a la gente para comprenderla intuitivamente: la aceleración.
El texto de [Mecánica Clásica I] Velocidad , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
Entradas relacionadas: Solución al Desafío 1 – Grados de libertad y coordenadas
Cada uno de los sistemas que planteábamos entonces tenía un número de grados de libertad diferente, además de coordenadas que harían de su estudio algo más simple que si “elegimos mal” (ya dijimos en el artículo anterior a qué se refiere eso):
1. Un avión que se aproxima para aterrizar en un aeropuerto puede moverse en todas las direcciones del espacio, luego tiene tres grados de libertad (recuerda, si sabes de estas cosas, que aún estamos considerando los objetos como puntos, luego la orientación del avión en sí respecto a su centro de masas no nos interesa todavía). Respecto a las coordenadas, lo más sencillo sería, como en el caso de la mosca de la entrada anterior, elegir las coordenadas cartesianas para describir su movimiento..
2. Un escarabajo que camina sobre la superficie de una pelota en reposo tiene dos grados de libertad, ya que está restringido a moverse sobre la superficie de la pelota y nos bastan dos números para identificar su posición (como la latitud y la longitud sobre la Tierra). Probablemente, las dos coordenadas más simples para describir su movimiento fuesen precisamente dos ángulos respecto a dos ejes perpendiculares arbitrarios, como en el caso de la Tierra.
3. Una nave espacial que orbita alrededor de la Tierra pero puede maniobrar para modificar su órbita, al igual que el avión de antes, puede moverse libremente, con lo que tiene tres grados de libertad. Sin embargo, al contrario que en el caso del avión, ya que aquí “horizontal” y “vertical” no tienen mucho sentido, sería seguramente más simple matemáticamente describir su movimiento utilizando dos ángulos, como en el caso del escarabajo, más una distancia radial medida desde el centro de la Tierra –para el que sepa de estas cosas, coordenadas esféricas–.
4. Un punto rojo marcado sobre un disco en un tocadiscos sólo tiene un grado de libertad, ya que su única posibilidad es girar con el disco cuando éste lo hace. Lo más lógico sería, dado que hablamos de giros, utilizar un ángulo como coordenada, referido a un eje elegido arbitrariamente.
Hablemos, por lo tanto, de qué sucede más en detalle cuando la posición de un objeto cambia en el tiempo o, dicho más llanamente, cuando el objeto se mueve en nuestro sistema de referencia. ¿Cómo lo hace? ¿Por dónde? ¿Cómo de rápido?Cada uno de los sistemas que planteábamos entonces tenía un número de grados de libertad diferente, además de coordenadas que harían de su estudio algo más simple que si “elegimos mal” (ya dijimos en el artículo anterior a qué se refiere eso):
1. Un avión que se aproxima para aterrizar en un aeropuerto puede moverse en todas las direcciones del espacio, luego tiene tres grados de libertad (recuerda, si sabes de estas cosas, que aún estamos considerando los objetos como puntos, luego la orientación del avión en sí respecto a su centro de masas no nos interesa todavía). Respecto a las coordenadas, lo más sencillo sería, como en el caso de la mosca de la entrada anterior, elegir las coordenadas cartesianas para describir su movimiento..
2. Un escarabajo que camina sobre la superficie de una pelota en reposo tiene dos grados de libertad, ya que está restringido a moverse sobre la superficie de la pelota y nos bastan dos números para identificar su posición (como la latitud y la longitud sobre la Tierra). Probablemente, las dos coordenadas más simples para describir su movimiento fuesen precisamente dos ángulos respecto a dos ejes perpendiculares arbitrarios, como en el caso de la Tierra.
3. Una nave espacial que orbita alrededor de la Tierra pero puede maniobrar para modificar su órbita, al igual que el avión de antes, puede moverse libremente, con lo que tiene tres grados de libertad. Sin embargo, al contrario que en el caso del avión, ya que aquí “horizontal” y “vertical” no tienen mucho sentido, sería seguramente más simple matemáticamente describir su movimiento utilizando dos ángulos, como en el caso del escarabajo, más una distancia radial medida desde el centro de la Tierra –para el que sepa de estas cosas, coordenadas esféricas–.
4. Un punto rojo marcado sobre un disco en un tocadiscos sólo tiene un grado de libertad, ya que su única posibilidad es girar con el disco cuando éste lo hace. Lo más lógico sería, dado que hablamos de giros, utilizar un ángulo como coordenada, referido a un eje elegido arbitrariamente.
Velocidad y rapidez
Volvamos a nuestro ejemplo de la mosca del artículo anterior. Entonces dijimos que la mosca había empezado en el punto (1.5, 2, -0.5) y había terminado en el punto (1.5, 2, 0), con lo que había subido medio metro –dicho técnicamente, su desplazamiento había sido (0, 0, 0.5)–. De lo que no hablamos entonces fue de cómo de rápido ni de por dónde lo había hecho. Respondamos primero a la primera de estas dos preguntas, para poder definir así una magnitud nueva, intuitiva y utilísima.Para saber lo rápido que ha sido el movimiento de la mosca nos hace falta saber, evidentemente, el tiempo que ha tardado en subir ese medio metro. Imaginemos, por ejemplo, que entre ambos puntos han transcurrido dos segundos. Podemos hacer dos cosas; por un lado, tener una idea cualitativa de lo rápido que ha sido el movimiento — la mosca se ha desplazado medio metro en dos segundos, luego se ha movido 25 cm cada segundo, es decir, 0.25 m cada segundo…. bastante lenta.
Esta magnitud –en el caso de la mosca, 0.25 metros por cada segundo– nos indica lo veloz que ha sido la mosca y recibe el nombre técnico de rapidez. Casi siempre que en el lenguaje cotidiano hablamos de velocidad, el concepto de Mecánica al que nos estamos refiriendo realmente es al de rapidez o celeridad, que indica exactamente lo que sugiere su nombre:
La rapidez de un objeto es la cantidad de metros que se desplaza cada segundo.Sin embargo, la rapidez no contiene toda la información que nos interesa; en primer lugar, recordarás que sabíamos algo más aparte de que la mosca se había movido 0.5 metros en 2 segundos — lo había hecho hacia arriba. Y esa información no aparece en la rapidez, ya que no nos hemos preocupado del “hacia dónde”. En vez de fijarnos simplemente en la distancia que se ha desplazado la mosca (0.5 metros), hagámoslo con toda la información, es decir, con todas las coordenadas. Al hacerlo así, tenemos que la mosca se ha desplazado (0, 0, 0.5) metros en 2 segundos, es decir, (0, 0, 0.25) metros cada segundo.
Esta magnitud recibe el nombre de velocidad y, como puedes ver, es más compleja que la rapidez pero también muchísimo más útil:
La velocidad de un objeto es la variación en la posición del objeto cada segundo.En el caso de la mosca, su velocidad en ese movimiento ha sido (0, 0, 0.25) metros cada segundo. Observa que, aunque se trata de algo más complejo que a lo que nos referimos comúnmente cuando hablamos de “velocidad”, tiene mucha más información que decir simplemente “va a veinte kilómetros por hora”, ya que aquí no sólo sabemos la rapidez de la mosca, sino hacia dónde se ha movido. No tiene sentido, por cierto, decir que hablar de “velocidad” cuando el concepto técnico es el de rapidez –sin la información de dirección del movimiento– se está cometiendo una incorrección. No, se trata simplemente de registros diferentes en contextos distintos. Sí sería incorrecto hacerlo, naturalmente, si estamos en un texto técnico en el que la distinción entre ambas magnitudes es relevante.
Unidades de la velocidad y rapidez – El metro por segundo y el kilómetro por hora
Afortunadamente, igual que los conceptos de rapidez y velocidad son bastante intuitivos, sus unidades también lo son. No hay una unidad con nombre propio para ellas, con lo que los “metros cada segundo” de los que hablábamos antes son precisamente los que se utilizan en la realidad.Un metro por segundo (m/s) es la rapidez de un objeto que se mueve un metro cada segundo.Ese “por segundo”, claro está, quiere decir “por cada segundo”, no “multiplicado por segundo”, como a veces confunden algunos escolares. Tal vez sería menos ambiguo decir “metro partido por segundo”, pero es menos cómodo y resulta algo artificial, con lo que no es tan común como la primera expresión. Tú mismo.
En cualquier caso, dado que en la vida cotidiana no suelen emplearse los metros por segundo, no es fácil para nosotros imaginar lo que realmente significa; por si te sirve de aviso, casi siempre que alguien ve una velocidad en metros por segundo le parece que es muy grande. Como referencia, aquí tienes algunas rapideces típicas en metros por segundo, de modo que puedas asimilar otros valores por comparación:
- El límite de velocidad para vehículos en las ciudades es de unos 14 m/s.
- Un atleta puede correr los cien metros lisos a unos 10 m/s.
- En una autopista, un coche se mueve a alrededor de 33 m/s.
- Un avión de pasajeros vuela a unos 220 m/s.
Un kilómetro por hora (km/h) es la rapidez de un objeto que se mueve un kilómetro cada hora.
Kilómetros por hora y metros por segundo
La conversión entre una unidad y la otra, aunque es algo que no nos preocupa en este bloque “cualitativo”, es sencilla. Conocida la velocidad en km/h, no hay más que recordar que recorrer 1 km es lo mismo que recorrer 1 000 m, y hacerlo en 1 h es lo mismo que hacerlo en 3 600 s, de modo que convertir km/h en m/s requiere multiplicar por 1 000 y dividir por 3 600 o, lo que es lo mismo, dividir por 3.6. Convertir m/s en km/h requiere hacer justo lo contrario, es decir, multiplicar por 3.6.
Como digo, este bloque es introductorio con lo que esto no nos preocupa mucho, pero si quieres estimar la rapidez de algo en unas unidades conocida en otras, una manera razonablemente rápida es la siguiente –hagámoslo con un coche que viaja a 100 km/h–. Al dividir entre 3 obtenemos unos 33 m/s, al dividir entre 4 obtenemos 25 m/s, con lo que el valor real es aproximadamente el punto medio entre ambos, es decir, 29 m/s; básicamente, estamos dividiendo por 3.5, que es muy parecido al factor de verdad. En este ejemplo, el valor real de la rapidez es de 27,8 m/s, aceptablemente parecido a nuestra estimación.
Estimar al revés puede hacerse justo al contrario: multiplicando por 3 y por 4 y obteniendo el valor medio. Por si te has perdido con cálculos, la idea central es la de que la velocidad en km/h es entre tres y cuatro veces mayor que en m/s.
La conversión entre una unidad y la otra, aunque es algo que no nos preocupa en este bloque “cualitativo”, es sencilla. Conocida la velocidad en km/h, no hay más que recordar que recorrer 1 km es lo mismo que recorrer 1 000 m, y hacerlo en 1 h es lo mismo que hacerlo en 3 600 s, de modo que convertir km/h en m/s requiere multiplicar por 1 000 y dividir por 3 600 o, lo que es lo mismo, dividir por 3.6. Convertir m/s en km/h requiere hacer justo lo contrario, es decir, multiplicar por 3.6.
Como digo, este bloque es introductorio con lo que esto no nos preocupa mucho, pero si quieres estimar la rapidez de algo en unas unidades conocida en otras, una manera razonablemente rápida es la siguiente –hagámoslo con un coche que viaja a 100 km/h–. Al dividir entre 3 obtenemos unos 33 m/s, al dividir entre 4 obtenemos 25 m/s, con lo que el valor real es aproximadamente el punto medio entre ambos, es decir, 29 m/s; básicamente, estamos dividiendo por 3.5, que es muy parecido al factor de verdad. En este ejemplo, el valor real de la rapidez es de 27,8 m/s, aceptablemente parecido a nuestra estimación.
Estimar al revés puede hacerse justo al contrario: multiplicando por 3 y por 4 y obteniendo el valor medio. Por si te has perdido con cálculos, la idea central es la de que la velocidad en km/h es entre tres y cuatro veces mayor que en m/s.
Movimientos uniformes y sistemas de referencia inerciales
Podemos ya identificar un tipo de movimientos especiales, fundamentales en Mecánica por razones que veremos más adelante, y además establecer una manera de pensar que –espero– te ahorrará malentendidos y confusiones más adelante si comprendes ya el concepto en cuestión.Nuestra mosca –o el objeto que sea– puede realizar, desde luego, multitud de movimientos diferentes; puede subir, luego bajar, hacer una vuelta en el aire, pararse un rato y después salir disparada hacia la puerta de la habitación. Sin embargo, aunque los posibles movimientos sean legión, la mosca puede hacer algo especial y muy concreto: lo mismo todo el tiempo. Dicho de otro modo, la mosca puede cambiar su movimiento de maneras muy diversas, o puede no cambiarlo en absoluto. Si hace lo último, se dice que realiza un movimiento uniforme.
Una manera más técnica de definir este tipo especial de movimientos –que, como digo, son absolutamente fundamentales en Mecánica– es la siguiente:
Un movimiento es uniforme cuando la velocidad permanece constante en el tiempo.Sin embargo, permite que añada una manera peculiar de identificar movimientos uniformes, porque a veces la gente se confunde con estas cosas. Si conoces la posición y la velocidad de un cuerpo en un instante determinado, con lo que sabes exactamente hacia dónde, y cómo de rápido, se estaba moviendo el cuerpo en ese momento, y a partir únicamente de esos dos datos en ese momento eres capaz de conocer dónde va a estar el cuerpo en el futuro, ese movimiento es uniforme. Veámoslo con la mosca.
Supongamos que la mosca está, como en el ejemplo que venimos usando todo el rato, en (1.5, 2, -0.5) y se mueve con una velocidad de (0, 0, 0.25) m/s. Si la mosca realiza un movimiento uniforme, no nos hace falta saber más: con esto podemos predecir exactamente dónde va a encontrarse en cualquier otro instante. Por ejemplo, ¿dónde estará a los cuatro segundos? Dado que recorre 0.25 metros cada segundo hacia arriba, en 4 segundos habrá subido 1 metro; dicho de otro modo, su desplazamiento será de (0, 0, 1) metros y por tanto tenemos su posición final: (1.5, 2, 0.5) metros. Pero esto sólo será verdad, claro está, si la mosca mantiene esa velocidad de (0, 0, 0.25) m/s todo el tiempo — si no es así, lo que sucede dependerá de cómo cambia la velocidad y es algo que, por ahora, no nos preocupa. Lo que sí debemos tener claro es que si al cabo de 4 segundos la mosca no está “donde debería” –es decir, en (1.5, 2, 0.5)–, es que no ha realizado un movimiento uniforme.
¡Ojo! Velocidad constante ≠ rapidez constante
Es un error muy común confundir rapidez con velocidad cuando se habla de velocidad constante, ya que nuestra cabeza, acostumbrada a entender “velocidad” como “lo rápido que va algo”, traduce automáticamente “velocidad constante” con “va siempre igual de rápido”. Pero no es lo mismo, y comprenderlo es fundamental para entender las causas de ciertos movimientos.
Recuerda que la velocidad “engloba” a la rapidez, en el sentido de que contiene la información de aquélla y, además, información adicional (el “hacia dónde”). Por lo tanto, si la velocidad de algo es constante, su rapidez también lo es, pero no sucede lo mismo al contrario: puede ser que algo se mueva siempre igual de rápido pero que cambie su velocidad porque lo haga la dirección del movimiento.
En el ejemplo de la mosca, supongamos que el insecto empieza con una velocidad de (0, 0, 0.25) m/s, pero luego ve a un humano que quiere aplastarla y se aleja hacia la puerta, de modo que su velocidad es ahora (0.25, 0, 0) m/s. Como puedes ver, su velocidad ha cambiado — el movimiento no es uniforme. Sin embargo, la celeridad de la mosca es exactamente la misma: antes subía a 0.25 m/s, ahora se mueve hacia la derecha a 0.25 m/s. Es perfectamente posible ir siempre igual de rápido pero cambiar la velocidad, y la clave está en el hecho de que la velocidad, al ser una magnitud vectorial, incluye una dirección.
Si un objeto realiza un movimiento uniforme, dado que su velocidad no cambia en ningún aspecto, ese movimiento debe ser necesariamente en línea recta: si hay algún tipo de giro, la velocidad estará cambiando y el movimiento ya no será uniforme. Por ejemplo, el movimiento de un satélite artificial alrededor de nuestro planeta no es uniforme, ya que el satélite está cambiando su dirección de movimiento todo el tiempo; no hace falta siquiera que pensemos en si va más rápido o más despacio en algún momento, ya que la mera modificación de la dirección de movimiento es suficiente para identificar un movimiento no uniforme. Sé que me repito, pero identificar movimientos uniformes y no uniformes es crucial porque permite “destapar” cosas realmente interesantes de las que hablaremos en artículos posteriores del bloque.Es un error muy común confundir rapidez con velocidad cuando se habla de velocidad constante, ya que nuestra cabeza, acostumbrada a entender “velocidad” como “lo rápido que va algo”, traduce automáticamente “velocidad constante” con “va siempre igual de rápido”. Pero no es lo mismo, y comprenderlo es fundamental para entender las causas de ciertos movimientos.
Recuerda que la velocidad “engloba” a la rapidez, en el sentido de que contiene la información de aquélla y, además, información adicional (el “hacia dónde”). Por lo tanto, si la velocidad de algo es constante, su rapidez también lo es, pero no sucede lo mismo al contrario: puede ser que algo se mueva siempre igual de rápido pero que cambie su velocidad porque lo haga la dirección del movimiento.
En el ejemplo de la mosca, supongamos que el insecto empieza con una velocidad de (0, 0, 0.25) m/s, pero luego ve a un humano que quiere aplastarla y se aleja hacia la puerta, de modo que su velocidad es ahora (0.25, 0, 0) m/s. Como puedes ver, su velocidad ha cambiado — el movimiento no es uniforme. Sin embargo, la celeridad de la mosca es exactamente la misma: antes subía a 0.25 m/s, ahora se mueve hacia la derecha a 0.25 m/s. Es perfectamente posible ir siempre igual de rápido pero cambiar la velocidad, y la clave está en el hecho de que la velocidad, al ser una magnitud vectorial, incluye una dirección.
Dada la importancia de los movimientos uniformes, éstos proporcionan además un estatus especial a los sistemas de referencia. Ya dijimos que podemos elegir como sistema de referencia lo que nos dé la gana, y cualquier sistema de referencia es tan válido como cualquier otro, pero unos tienen una “etiqueta de calidad” que otros no tienen. Cuando un sistema de referencia sigue un movimiento uniforme, se denomina sistema de referencia inercial, y las leyes físicas, como veremos en breve, se describen de una manera especialmente sencilla en ellos. Ésta es una de las razones de que identificar los movimientos uniformes sea importante: que algo siga un movimiento uniforme lo hace un candidato excelente a sistema de referencia fetén, es decir, inercial.
Pero, además, este tipo de movimientos son bellos por su propia simplicidad: observa cómo, conocidos sólo dos datos –posición inicial y velocidad–, es posible predecir el comportamiento del sistema mientras el movimiento siga siendo uniforme. De ahí que sea tan común utilizar este tipo de movimientos en los colegios, ya que permiten extraer conclusiones a partir de datos sencillos y cálculos simples. Por otro lado, los sistemas físicos más interesantes no suelen abundar en movimientos uniformes, pero se trata de un buen “trampolín” para atacar luego otros movimientos más complejos.
Velocidad media y velocidad instantánea
Incluso cuando el movimiento no es uniforme, es posible realizar simplificaciones que nos permitan tratarlo como si lo hubiera sido para extraer información útil de lo que ha sucedido. Para ello no hay más que “hacer trampa” y tratar el movimiento, salvando las distancias, como si hubiera sido uniforme, conocidos el lugar de comienzo y el de final. Como siempre, la mosca es nuestra mejor aliada.Supongamos que nuestra mosca empieza en (0, 0, 0) y se pone a volar durante 2 segundos hacia arriba a 1 m/s en un movimiento uniforme. Sin embargo, al cabo de 2 segundos decide irse hacia la derecha con la misma rapidez. Finalmente, 2 segundos más tarde, decide volver a bajar una vez más a 1 m/s, también durante 2 segundos. Dibujemos el movimiento completo de la mosca, que ha tenido tres tramos de 2 segundos cada uno (y, por tanto, de 2 metros de longitud cada uno, ya que el bicho vuela siempre a 1 m/s):
El movimiento completo de la mosca ha durado 6 segundos, y no es un movimiento uniforme: aunque siempre se mueve igual de rápido, la mosca no sigue una línea recta. En términos de velocidad, al principio la velocidad era (0, 0, 1), luego se convirtió en (1, 0, 0) y finalmente en (0, 0, -1) cuando el insecto bajaba. Ha cambiado de velocidad –que no de rapidez– dos veces en el trayecto. Desde luego, cada uno de los tres tramos por separado sí es un movimiento uniforme, pero no el conjunto de los tres.
Pero olvidemos por un momento el hecho de que la mosca ha zigzagueado por la habitación, y centrémonos en dónde empezó y dónde terminó. Empezó, como hemos dicho, en (0, 0, 0), es decir, el centro de la habitación, y terminó en (2, 0, 0), dos metros a la derecha del centro de la habitación. Por lo tanto, su desplazamiento ha sido de (2, 0, 0) — se ha movido dos metros a la derecha, pero dicho en términos de vectores. Si nos olvidamos de lo que ha sucedido entre medias, ¿cuál es el resultado neto de todo esto en términos de velocidad? Que la mosca se ha desplazado (2, 0, 0) metros en 6 segundos: en otras palabras, que la velocidad media de la mosca es de (2/6, 0, 0) m/s, es decir, (1/3, 0, 0) m/s.
La velocidad media de un movimiento es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado en él.A mí me gusta más una definición alternativa, que tal vez te deje las cosas más claras. Supongamos que, en vez de la mosca “real”, nos imaginamos una segunda mosca, una “mosca fantasma uniforme”, que empieza en el mismo sitio que la mosca real y al mismo tiempo que ella pero, en vez de dar vueltas por la habitación, se dirige en línea recta, con velocidad constante, hacia el punto de destino, de modo que llega a él exactamente a la vez que la “mosca real”. ¿A qué velocidad tendría que haber ido la mosca fantasma para conseguir eso? Pues sí, exactamente a la velocidad media: en 6 segundos se desplazará (2, 0, 0) metros y terminará en el mismo lugar que su compañera.
La velocidad media de un movimiento es la velocidad que hubiera tenido un movimiento uniforme que empezase en el punto inicial y terminase en el final a la vez que el movimiento real.Para distinguir la velocidad media de la velocidad “de verdad” que tiene el objeto en cada momento, a veces se denomina a la velocidad real en cada instante velocidad instantánea. Evidentemente, la velocidad instantánea no tiene por qué tener un único valor, sino que puede ir cambiando según se produce el movimiento y el objeto se mueve más deprisa o más despacio, gira, etc.
¡Ojo! Velocidad media ≠ media de las velocidades
Con bastante frecuencia, a leer lo de “media” pensamos que la velocidad media es la media de las diferentes velocidades que ha llevado el cuerpo durante el movimiento. Sin embargo, esto no es así salvo que se haga con sumo cuidado y teniendo en cuenta la ponderación adecuada. Creo que un ejemplo simple hará encenderse la bombilla sobre tu cabeza.
Si la mosca se mueve con velocidad (0, 0, 1) m/s durante 2 segundos, y a (0, 0, 3) m/s durante 4 segundos, ¿cuál ha sido su velocidad media? La manera ingenua de hacer esto es diciendo que, dado que primero va a (0, 0, 1) y luego a (0, 0, 3), su velocidad media es el valor medio de ambas: (0, 0, 2) m/s. ¡Pero al hacer esto no se tiene en cuenta el hecho de que la mosca se ha movido bastante más tiempo a 3 m/s que a 1 m/s!
No, la manera que no falla –y la más recomendable para el neófito– es hacerlo con la propia definición (que es, si lo piensas, hacer una media ponderada): el desplazamiento de la mosca ha sido de (0, 0, 2) metros primero, y de (0, 0, 12) metros después, es decir, de (0, 0, 14) metros. Y el tiempo que ha tardado en desplazarse ha sido de 6 segundos –dos segundos primero y cuatro después–. Por lo tanto, la velocidad media es de (0, 0, 14/6) m/s, o lo que es lo mismo, (0, 0, 2.33) m/s, mayor que la obtenida ingenuamente antes.
Una peculiaridad del concepto de velocidad media es el hecho de que, al tener en cuenta simplemente el lugar inicial y el final y el tiempo transcurrido entre ambas posiciones, se pierde una cantidad enorme de información al trabajar sólo con ella. Por poner un ejemplo extremo, supongamos que nos fijamos en un coche de carreras que da vueltas a un circuito. Desde luego, su movimiento no es uniforme: va más deprisa, luego más despacio, gira a izquierda y derecha… sufre todo tipo de variaciones en su velocidad. Sin embargo, ¿cuál es la velocidad media al cabo de una vuelta?Con bastante frecuencia, a leer lo de “media” pensamos que la velocidad media es la media de las diferentes velocidades que ha llevado el cuerpo durante el movimiento. Sin embargo, esto no es así salvo que se haga con sumo cuidado y teniendo en cuenta la ponderación adecuada. Creo que un ejemplo simple hará encenderse la bombilla sobre tu cabeza.
Si la mosca se mueve con velocidad (0, 0, 1) m/s durante 2 segundos, y a (0, 0, 3) m/s durante 4 segundos, ¿cuál ha sido su velocidad media? La manera ingenua de hacer esto es diciendo que, dado que primero va a (0, 0, 1) y luego a (0, 0, 3), su velocidad media es el valor medio de ambas: (0, 0, 2) m/s. ¡Pero al hacer esto no se tiene en cuenta el hecho de que la mosca se ha movido bastante más tiempo a 3 m/s que a 1 m/s!
No, la manera que no falla –y la más recomendable para el neófito– es hacerlo con la propia definición (que es, si lo piensas, hacer una media ponderada): el desplazamiento de la mosca ha sido de (0, 0, 2) metros primero, y de (0, 0, 12) metros después, es decir, de (0, 0, 14) metros. Y el tiempo que ha tardado en desplazarse ha sido de 6 segundos –dos segundos primero y cuatro después–. Por lo tanto, la velocidad media es de (0, 0, 14/6) m/s, o lo que es lo mismo, (0, 0, 2.33) m/s, mayor que la obtenida ingenuamente antes.
La posición inicial es la salida, y la posición final es… una vez más, la salida. Al cabo de una vuelta completa, el coche termina exactamente donde empezó, con lo que su desplazamiento es (0, 0, 0)… lo cual supone que, independientemente de cuánto haya durado la vuelta, al no haberse desplazado de manera neta, su velocidad media es (0, 0, 0) m/s. Raro, ¿no? Sin embargo, si piensas en la definición alternativa de velocidad media, es bastante lógico: si un coche fantasma empezase donde el coche real, ¿qué velocidad debería haber llevado en un movimiento uniforme para terminar donde él? Pues una velocidad nula… simplemente quedándose parado, el coche real hubiese acabado con él tras dar la vuelta.
Por eso, si ves carreras de Fórmula 1 en la televisión, allí no se mide la velocidad media –aunque así la llamen y todos nos entendamos–, ya que sería siempre nula o prácticamente nula. No, lo que miden es algo diferente, y seguro que ya sabes a lo que me refiero.
Celeridad media
Cuando decimos que un coche de carreras ha realizado una vuelta con una velocidad media de 120 km/h, de lo que estamos hablando en términos mecánicos no es de la velocidad media, sino de la celeridad o rapidez media. Como su propio nombre indica, la rapidez media nos da una idea de lo rápido (o lento) que ha sido el movimiento. Pero claro, no podemos estimar esta rapidez con el desplazamiento, puesto que si terminamos en el mismo sitio que empezamos, como sucede en la carrera de coches del ejemplo, la celeridad media sería cero, como lo era la velocidad media.Lo que nos hace falta es olvidarnos del hecho de que el movimiento ha seguido una trayectoria curva (la forma del circuito), ya que la celeridad no se preocupa de la dirección del movimiento sino de cuánto movimiento se ha producido: es irrelevante que el movimiento termine en el mismo punto en el que empezó porque, aunque así sea, el coche sí ha recorrido una distancia –la longitud del circuito–. Para tener una imagen visual de esto, imagina que ves el mapa del circuito a vista de pájaro:
Olvidémonos del desplazamiento, y pensemos en lo que ha marcado el cuentakilómetros del coche, y lo que han recorrido sus ruedas. Básicamente, despleguemos la trayectoria que ha seguido el coche, de modo que podamos medir su longitud despreocupándonos de curvas y demás zarandajas:
Seguro que ahora sí ves cómo calcular la celeridad media: es la distancia que ha recorrido el objeto a lo largo de su trayectoria entre el tiempo que ha tardado en recorrer esa distancia. Lo que nos interesa, por lo tanto, no es el desplazamiento, sino la longitud recorrida a lo largo de la trayectoria del objeto.
La celeridad media es el cociente entre la longitud recorrida a lo largo de la trayectoria y el tiempo empleado en recorrerla.Como todas las demás magnitudes de hoy, por supuesto, la rapidez media se mide en m/s. Puedes ver la enorme diferencia entre velocidad y rapidez media: además del hecho de que una es un vector (incluye el “hacia dónde”) y la otra no, es perfectamente posible que una de las dos sea cero y la otra sea un valor enorme. Por ejemplo, un coche a lo largo de una vuelta puede tener una velocidad media nula y una celeridad media enorme — de las dos, en este caso, la más relevante es la celeridad media, y por eso es la que se menciona al hablar de carreras de coches, aunque no la llamen así.
Ya que en este artículo nos hemos centrado en la diferencia entre movimientos uniformes y los que no lo son, en el próximo hablaremos precisamente de los no uniformes para identificar diferencias entre ellos, y definiremos la primera de las magnitudes que suele crear problemas a la gente para comprenderla intuitivamente: la aceleración.
Ideas clave
Para seguir rumbo sin peligro a lo largo del bloque, deben haberte quedado claros los siguientes conceptos fundamentales:- La rapidez o celeridad es la distancia recorrida por segundo, y se mide en m/s.
- La velocidad es la variación en la posición por cada segundo, y se mide también en m/s.
- La celeridad es simplemente un número, pero la velocidad es un vector, ya que incluye la información sobre la dirección del movimiento.
- Un movimiento uniforme es aquel cuya velocidad es constante.
- Un sistema de referencia en movimiento uniforme se denomina sistema de referencia inercial.
- Es posible que la rapidez sea constante pero que la velocidad no lo sea, con lo que el movimiento no sea uniforme.
- La velocidad media es el desplazamiento realizado entre el tiempo empleado, y se mide en m/s.
- La celeridad media es la longitud de la trayectoria entre el tiempo empleado, y se mide en m/s.
Hasta la próxima…
Aunque se trate de un bloque introductorio, en el que intentamos establecer conceptos cualitativos y no hacer demasiado número todavía, creo que estás preparado para calcular algunas velocidades y celeridades medias sin problemas, y hacerlo posiblemente afiance las ideas que has aprendido hoy.Desafío 2 – Velocidad y celeridad media
Para cada uno de los siguientes movimientos, ¿eres capaz de calcular la velocidad media, como vector, y la rapidez media?
1. Una mosca que empieza en (0, 0, 0), se mueve hasta (4, 0, 0), luego hasta (4, 2, 0), luego hasta (4, 2, -2) y finalmente hasta (0, 2, -2). En total ha tardado 6 segundos.
2. Un satélite artificial que realiza una circunferencia de 10 000 km alrededor del centro de la Tierra, siempre igual de rápido, y que tarda 2 horas en completarla.
3. Un ciempiés que está en la base de un árbol, sube por el tronco hasta una rama que está a 10 metros de altura y luego camina por la rama, horizontal, hasta su extremo. La rama tiene una longitud de 4 metros y el ciempiés tarda cinco minutos en realizar el recorrido completo.
Para cada uno de los siguientes movimientos, ¿eres capaz de calcular la velocidad media, como vector, y la rapidez media?
1. Una mosca que empieza en (0, 0, 0), se mueve hasta (4, 0, 0), luego hasta (4, 2, 0), luego hasta (4, 2, -2) y finalmente hasta (0, 2, -2). En total ha tardado 6 segundos.
2. Un satélite artificial que realiza una circunferencia de 10 000 km alrededor del centro de la Tierra, siempre igual de rápido, y que tarda 2 horas en completarla.
3. Un ciempiés que está en la base de un árbol, sube por el tronco hasta una rama que está a 10 metros de altura y luego camina por la rama, horizontal, hasta su extremo. La rama tiene una longitud de 4 metros y el ciempiés tarda cinco minutos en realizar el recorrido completo.
El texto de [Mecánica Clásica I] Velocidad , por Pedro Gómez-Esteban, salvo donde se mencione explícitamente, está publicado bajo Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
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