2012 02 27
[Mecánica Clásica I] Trabajo mecánico
Ya llevamos unas dos terceras partes del bloque de Mecánica Clásica I en el que intentamos establecer la base conceptual necesaria para entender la mecánica newtoniana. Tras la introducción, en los tres primeros artículos estudiamos posición, velocidad y aceleración. En los tres siguientes aprendimos sobre los tres principios de Newton que describen las fuerzas: el principio de inercia, el principio fundamental de la dinámica y el principio de acción y reacción. Como espero que recuerdes, además, en los dos últimos capítulos introdujimos el concepto de cantidad de movimiento y vimos cómo la tercera ley de Newton es realmente un principio de conservación cuando se expresa en términos de esa magnitud.Y con esa idea quiero empezar hoy, si recuerdas todo aquel razonamiento: es posible realizar formulaciones alternativas de principios físicos, empleando conceptos distintos aunque en último término equivalentes. ¿Por qué hacerlo? Como vimos al hablar de la conservación de la cantidad de movimiento del Universo o de distintos sistemas físicos, la razón es que a veces resulta utilísimo mirar un sistema de un modo diferente. Dicho de otra manera, y disculpa si me repito pues lo he dicho otras veces — en el Universo no hay fuerzas, no hay cantidad de movimiento, no hay nada de eso. Son herramientas conceptuales, que están en nuestra cabeza y nos sirven para predecir el comportamiento de las cosas. Por lo tanto, es posible utilizar unas herramientas u otras, dependiendo de cuál sea el objetivo que estemos persiguiendo en ese momento.
¿Por qué todo este sermón? Porque hoy vamos a mezclar dos conceptos que ya hemos visto en el bloque para crear algunas de estas “herramientas alternativas” que, aunque parezcan redundantes con las que ya tenemos, resultan maravillosas para estudiar multitud de sistemas físicos. En este artículo empezaremos a ver algunas de ellas, para introducir finalmente conceptos utilísimos como el de energía.
Las malas noticias, si se les puede llamar así, son las siguientes: como en este artículo y posteriores nos dedicaremos a “remezclar” magnitudes vistas anteriormente y a expresar principios físicos ya estudiados en términos de esas nuevas magnitudes, es absolutamente imposible seguir estos artículos sin una buena comprensión de los anteriores y sin recordar los conceptos allí estudiados. De hecho, mi recomendación es que le des una lectura al resto del bloque antes de seguir o según te encuentras con menciones a cantidad de movimiento, principio fundamental de la dinámica y cosas parecidas, hasta que la palabrería no te confunda y esos conceptos sean ya viejos conocidos en quienes piensas casi con cariño.
Dicho esto, empecemos a remezclar conceptos newtonianos.
Muchas de esas evoluciones consistieron en tomar conceptos newtonianos y “mezclarlos” para obtener otros derivados de ellos que contuvieran información adicional sobre un sistema. El propio Newton ya lo hizo, como vimos en artículos anteriores, al definir la cantidad de movimiento, su quantitas motus: el producto de masa por velocidad. Como dijimos entonces, la cantidad de movimiento da una idea más completa que la simple velocidad sobre el estado de movimiento de algo, ya que no es tan fácil detener un camión que viaja a 40 km/h que un insecto que viaja a la misma velocidad.
Bien, muy pronto otros científicos se plantearon crear “conceptos híbridos” similares. Por ejemplo, en el caso de la fuerza, si realizo una fuerza de 100 N sobre un objeto, ¿modificaré mucho su movimiento o no? Pues hombre, depende de muchas cosas. Una manera de obtener una magnitud con más información que la simple fuerza es combinarla con el tiempo que dura su acción: si empujo el objeto durante un minuto el resultado no será el mismo que si lo hago durante un segundo. No sé quién fue el primero en combinar ambos factores, pero la magnitud resultante se denomina impulso mecánico y, para una fuerza constante, es simplemente el producto de la fuerza por el tiempo que actúa, y nos proporciona una información adicional sobre cómo cambiará el estado del sistema.
Si quieres una definición en su propio párrafo del impulso mecánico, suponiendo que la fuerza no varía durante el tiempo que observamos,
Si recuerdas el artículo sobre el principio fundamental de la dinámica –la segunda ley de Newton–, allí expresamos ese principio en términos de la cantidad de movimiento del siguiente modo:
Ya simplemente por jugar, podemos incluso expresar la conservación de la cantidad de movimiento en términos de impulso: como recordarás, la cantidad de movimiento del Universo entero se mantiene siempre constante, como vimos al hablar del principio de acción y reacción. Puesto que el impulso mecánico es la variación de esa cantidad de movimiento, ese principio de conservación podría expresarse así:
En mi opinión, de los conceptos introducidos en esta etapa, uno merece una atención especial, ya que revolucionó la Física. La razón es que la mayor parte de las magnitudes físicas son propias de una disciplina u otra –la aceleración, por ejemplo, de la Mecánica, la temperatura de la Termodinámica, etc.–, pero los físicos del XIX, según desarrollaban la Termodinánmica, dieron con una especie de “Piedra Rosetta” de la Física, una magnitud que entrelazaba todas las ramas de esa ciencia e incluso de otras, con lo que permitía relacionar fenómenos hasta entonces estudiados sólo desde un punto de vista: la energía –que no es posible entender sin el trabajo, por cierto, de ahí que empecemos por él–.
Uno de los físicos involucrados en el desarrollo temprano de la Termodinámica fue el francés Gaspard-Gustave de Coriolis. Aunque sea recordado fundamentalmente por el efecto que lleva su nombre, Coriolis realizó importantes avances en otros campos de la Física. Hacia 1820 se dedicaba a estudiar el rendimiento de máquinas hidráulicas y térmicas, y en las ecuaciones que obtenía se repetía un producto, el de una fuerza por la distancia que algo se desplazaba: de modo que Coriolis definió un nuevo concepto a partir de ambas (el producto de fuerza por distancia), al que denominó trabajo. Como puedes ver, es algo parecido al impulso en el sentido de que se deriva de la fuerza con una “información adicional”, pero en este caso no se trata del tiempo que actúa la fuerza sino de la distancia.
Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843).
Como pasa tantas veces, de no haber sido Coriolis, otros hubieran llegado a la misma conclusión y, de hecho, seguramente llegaron independientemente a ella casi al mismo tiempo. Sabemos que otro francés, Nicolas Léonard Sadi Carnot –uno de los padres de la Termodinámica– utilizó el mismo concepto, que denominó potencia motriz y que definió como el producto del peso de algo por la altura hasta la que se eleva ese algo; Carnot lo hizo en el contexto de bombas de agua que elevan líquido, pero puedes ver que el concepto es el mismo, ya que el peso es una fuerza y la altura es una distancia, aunque esta definición sea más restringida que la de Coriolis.
Una definición moderna, suponiendo como siempre que la fuerza es constante, es la siguiente:
En la definición de trabajo se multiplican la distancia y la fuerza, pero no “enteras”, sino sólo en la medida en la que son paralelas. La razón de esto la verás algo más abajo, cuando hablemos del signo del trabajo; por ahora quiero que comprendas cómo determinar ese “en la dirección de la fuerza”. Técnicamente, podríamos decir que se trata de la fuerza por la componente de la distancia paralela a esa fuerza (o lo que es lo mismo, la distancia por la componente de la fuerza paralela a la distancia).
Recuerda que la fuerza, como el desplazamiento, es un vector: no sólo tiene una intensidad, sino también una dirección y un sentido, que son fundamentales para el cálculo del trabajo. Dicho mal y pronto, para el trabajo sólo cuenta la parte de la fuerza que va “a favor” o “en contra” del desplazamiento. Pero creo que lo mejor es ver esto con un ejemplo.
El trabajo que realiza esa fuerza sobre el objeto no es de 80 N·m, ya que la definición de trabajo tiene esa coletilla de “en la dirección de la fuerza”, o dicho de un modo que me gusta más aunque no sea el oficial, “en la medida en que son paralelas fuerza y distancia”.
La coletilla significa que sólo tenemos en cuenta la parte de la distancia que va en la dirección de la fuerza:
Como digo, aquí no vamos a realizar cálculos trigonométricos, pero aplicando la trigonometría puedes ver que esa componente de la distancia sobre la dirección de la fuerza es la mitad de la distancia total, es decir, 5 metros. Por lo tanto, el trabajo es de 8 newtons a lo largo de 5 metros, o 40 N·m. Ahora bien, podríamos hacer el mismo cálculo del modo contrario –que, como veremos luego, me parece más intuitivo y útil–: en vez de proyectar la dirección de la distancia sobre la de la fuerza, podemos proyecta la fuerza sobre la distancia:
El segmento que resulta, si te molestas en calcularlo, es de la misma proporción que antes, es decir, justo la mitad de la fuerza total, es decir, 4 newtons. Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza es de 4 newtons a lo largo de 10 metros, es decir, 40 N·m (el mismo resultado de antes, por supuesto).
Lo importante, lo veas del modo que lo veas –fuerza sobre distancia o distancia sobre fuerza– es que el trabajo es el producto de sus “partes paralelas”, no de los valores totales. Esto significa, naturalmente, que una fuerza de la misma intensidad ejercida en direcciones diferentes sobre un objeto que se mueve puede producir trabajos muy diferentes, ya que las componentes paralelas pueden cambiar muchísimo, lo cual es exactamente la razón de que el trabajo se defina así.
De hecho, permite que, si has entendido los dibujos de arriba, te dé una definición alternativa de trabajo, una definición de andar por casa, extraoficial y terrible, que negaré haber mencionado si alguien me lo pregunta alguna vez:
James Prescott Joule (1818-1889).
El nombre es en honor a James Prescott Joule (de ahí que eĺ símbolo sea una mayúscula), otro de los físicos del XIX responsables de la madurez de la Termodinámica como ciencia. Entre muchas otras cosas, Joule logró precisamente algo que hemos mencionado antes: demostrar el hecho de que los fenómenos térmicos y los mecánicos tienen una relación íntima que puede describirse mediante una magnitud abstracta pero universal: la energía. Puesto que, como veremos, la energía y el trabajo son hermanos y se miden con las mismas unidades, la comunidad científica consideró adecuado honrar así al bueno de James.
Al igual que sucedía con el impulso, creo que a estas alturas no hace falta que dedique mucho tiempo a dar una idea de “cuánto es” un julio. Un newton es la fuerza necesaria para sostener algo de 0,1 kg de masa, y un metro es una distancia bastante corta. Para hacerte a la idea de la magnitud de un julio, lo mejor es precisamente realizar un trabajo de un julio. Para ello, toma un objeto de unos cien gramos de masa y levántalo suavemente un metro con la mano — acabas de realizar un julio de trabajo. No es mucho, ¿verdad?
De ahí que sea muy común, al aplicar la Mecánica a problemas de la vida real, utilizar múltiplos del julio como, por ejemplo, el megajulio (MJ), equivalente a un millón de julios. En cualquier caso, cuando hablemos de energía y sus tipos daremos más ejemplos concretos que, espero, te serán de ayuda para asimilar la magnitud de un julio. Por ahora, con tener claro que es un trabajo minúsculo basta.
En primer lugar, ¿en qué casos el trabajo será nulo? Si comprendiste la definición, existen tres posibilidades, que en orden de más a menos evidentes son:
Para comprender la tercera, que es la más sutil, supongamos que un objeto se mueve como el del ejemplo de arriba, diez metros hacia la derecha, y que realizamos una fuerza de ocho newtons sobre él, pero podemos elegir en qué dirección ejercer esa fuerza. Para los puristas, sí, al modificar la dirección de nuestra fuerza se modificaría la dirección del movimiento y su magnitud, pero supongamos que las demás fuerzas también cambian para que, al final, el movimiento del objeto sea siempre de diez metros hacia la derecha.
Imaginemos que la fuerza se ejerce perpendicularmente a la distancia que se mueve el objeto. ¿Cómo será el trabajo realizado por la fuerza?
En este caso, hagamos lo que hagamos –proyectar la parte paralela de la fuerza sobre la distancia o al revés– obtenemos un simple punto, ya que no hay tal “parte paralela”, pues ambas son perpendiculares:
Por lo tanto, el trabajo es nulo. Esto es aún más contrario a la intuición si tenemos en la cabeza lo de “trabajo” como “me cuesta trabajo”, ya que como puedes ver es posible realizar una fuerza sobre un objeto que se mueve y, sin embargo, no realizar trabajo sobre él. Pero creo que, si comprendiste la definición, esto debería estar superado.
Veamos que sucede en otro caso extremo, en el que ejercemos la fuerza exactamente en la misma dirección que el desplazamiento del cuerpo:
El trabajo, ahora sí, es el simple producto de la fuerza por la distancia, ya que en este caso son paralelas con lo que no hace falta proyectar nada; son 80 N·m, es decir, 80 julios. De hecho, como puedes comprender, con esta distancia recorrida y esta fuerza de ocho newtons, el máximo trabajo que podemos obtener es precisamente éste: es imposible realizar más de ochenta julios, ya que no puede tenerse una fuerza idéntica más “a favor de la distancia” que paralela.
Sin embargo, hagamos justo lo contrario: supongamos que ejercemos la fuerza exactamente en contra del desplazamiento:
Una vez más, la parte paralela de la fuerza sobre la distancia es la propia fuerza, pero hacia atrás respecto a la distancia. Matemáticamente, esto se representa haciendo de esa parte paralela, en vez de ocho newtons, menos ocho newtons, con signo negativo. El signo negativo significa, por lo tanto, que la fuerza no va a favor sino en contra del desplazamiento. Por lo tanto, en este caso el trabajo es de menos ochenta julios. Y creo que verás que no es posible un trabajo menor que ése, ya que más en contra que exactamente en contra del desplazamiento no es posible ejercer una fuerza.
Por lo tanto, con una distancia de diez metros y una fuerza de ochenta julios, elijamos la dirección de la fuerza que nos apetezca elegir, el trabajo realizado por esa fuerza va a encontrarse en algún punto entre -80 J y 80 J, ambos inclusive. Vamos entonces con el párrafo más importante de todo el artículo:
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, no va a favor ni en contra del movimiento del objeto y el trabajo será nulo. En cualquier dirección más o menos “hacia atrás” respecto al desplazamiento, el trabajo será negativo, hasta un mínimo de -80 julios si la fuerza se opone diametralmente a la distancia. En cualquier dirección más o menos “a favor” respecto al desplazamiento, el trabajo será positivo, tanto más cuanto más paralelos sean los vectores, hasta un máximo de 80 J cuando tengan exactamente la misma dirección.
El siguiente diagrama trata de resumir todos los casos posibles y creo que, si lo asimilas, el trabajo será pan comido para ti. He representado en negro la dirección de las fuerzas que no realizan trabajo sobre el objeto, en rojo las que realizan trabajo negativo y en verde las que realizan trabajo positivo. No he representado números, pero el trabajo se irá acercando a 80 julios cuanto más horizontal sea la fuerza “hacia delante” y se acercará a -80 julios cuanto más horizontal sea la fuerza “hacia atrás”:
Como puedes ver, hay una diferencia fundamental entre las dos mitades simétricas del dibujo. En cualquiera de los casos de color verde, estamos favoreciendo el movimiento del objeto y, seguramente, haciendo que acabe moviéndose más deprisa, mientras que en los casos de color rojo el objeto acabará moviéndose más despacio pues estamos dificultando su movimiento. En los casos en negro, sin embargo, no hacemos ni una cosa ni otra; podremos lograr que el objeto gire y cambie de dirección, pero no que vaya más deprisa ni más despacio que antes.
Desde el principio, los físicos como Carnot o Coriolis se dieron cuenta de que había algo más detrás de esto: cuando una máquina realizaba trabajo positivo sobre algún objeto, haciendo que se moviera más deprisa, no podía hacerlo indefinidamente. Era como si algo “se gastara” en la máquina; sin embargo, cuando una máquina realizaba trabajo negativo sobre algo terminaba con “algo más” que antes. Finalmente, si una máquina no realizaba trabajo, por ejemplo, por ejercer una fuerza perpendicular a un desplazamiento, o por no haber desplazamiento, solía poder hacerlo indefinidamente.
Dicho con otras palabras, era como si las cosas tuvieran un “depósito” del que sacar trabajo, y al realizar trabajo positivo el depósito se iba “vaciando”. Inevitablemente, dado que los físicos del XIX no usaban expresiones tan patéticas como “vaciando” y “como si algo se gastara”, definieron una magnitud que representara exactamente esa capacidad de realizar trabajo de una máquina o cualquier otro sistema: la energía. Y a ella dedicaremos los siguientes artículos.
The [Mecánica Clásica I] Trabajo mecánico by Pedro Gómez-Esteban, unless otherwise expressly stated, is licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5 Spain License.
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Las malas noticias, si se les puede llamar así, son las siguientes: como en este artículo y posteriores nos dedicaremos a “remezclar” magnitudes vistas anteriormente y a expresar principios físicos ya estudiados en términos de esas nuevas magnitudes, es absolutamente imposible seguir estos artículos sin una buena comprensión de los anteriores y sin recordar los conceptos allí estudiados. De hecho, mi recomendación es que le des una lectura al resto del bloque antes de seguir o según te encuentras con menciones a cantidad de movimiento, principio fundamental de la dinámica y cosas parecidas, hasta que la palabrería no te confunda y esos conceptos sean ya viejos conocidos en quienes piensas casi con cariño.
Dicho esto, empecemos a remezclar conceptos newtonianos.
Impulso mecánico
En los siglos posteriores a Newton se desarrollaron varias de estas formulaciones alternativas de la mecánica equivalentes a la suya, pero que empleaban magnitudes nuevas además de las ya definidas por el inglés, precisamente con el objetivo que mencionábamos antes — obtener herramientas diferentes para estudiar las cosas de otro modo. Durante mucho tiempo fue como si, cada cierto tiempo, se produjese una evolución de la mecánica newtoniana que partía de los mismos principios pero los expresaba de otro manera (y que, desgraciadamente, complicaba un tanto las matemáticas involucradas).Muchas de esas evoluciones consistieron en tomar conceptos newtonianos y “mezclarlos” para obtener otros derivados de ellos que contuvieran información adicional sobre un sistema. El propio Newton ya lo hizo, como vimos en artículos anteriores, al definir la cantidad de movimiento, su quantitas motus: el producto de masa por velocidad. Como dijimos entonces, la cantidad de movimiento da una idea más completa que la simple velocidad sobre el estado de movimiento de algo, ya que no es tan fácil detener un camión que viaja a 40 km/h que un insecto que viaja a la misma velocidad.
Bien, muy pronto otros científicos se plantearon crear “conceptos híbridos” similares. Por ejemplo, en el caso de la fuerza, si realizo una fuerza de 100 N sobre un objeto, ¿modificaré mucho su movimiento o no? Pues hombre, depende de muchas cosas. Una manera de obtener una magnitud con más información que la simple fuerza es combinarla con el tiempo que dura su acción: si empujo el objeto durante un minuto el resultado no será el mismo que si lo hago durante un segundo. No sé quién fue el primero en combinar ambos factores, pero la magnitud resultante se denomina impulso mecánico y, para una fuerza constante, es simplemente el producto de la fuerza por el tiempo que actúa, y nos proporciona una información adicional sobre cómo cambiará el estado del sistema.
Si quieres una definición en su propio párrafo del impulso mecánico, suponiendo que la fuerza no varía durante el tiempo que observamos,
El impulso de una fuerza es el producto de la fuerza por el tiempo que actúa.Las unidades del impulso, por lo tanto, serán las de fuerza multiplicadas por las de tiempo, es decir, newtons por segundos (N·s). Que yo sepa, nadie ha dado nombre propio a esa unidad. Creo, por cierto, que ya tienes una concepción lo suficientemente sólida de las unidades como para darte cuenta de lo grande o pequeño que es un N·s — es algo muy pequeño, pues un newton es una fuerza leve y un segundo es un tiempo corto.
Si recuerdas el artículo sobre el principio fundamental de la dinámica –la segunda ley de Newton–, allí expresamos ese principio en términos de la cantidad de movimiento del siguiente modo:
La fuerza neta sobre un cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento cada segundo.Al introducir el concepto de impulso mecánico podemos expresar esa ley de un modo aún más conciso, y si la lees un par de veces y piensas en el impulso como la fuerza por el tiempo que actúa, tal vez puedas hacerlo tú mismo. Como la fuerza es la variación de la cantidad de movimiento cada segundo, si multiplicamos la fuerza por los segundos que actúa y obtenemos así el impulso mecánico, tenemos que
El impulso neto sobre un cuerpo es igual a la variación de su cantidad de movimiento.Se trata de la misma ley que antes, sólo que la primera versión es “cada segundo” y la segunda versión es “en total”. ¿Cuándo es más útil una u otra? Pues depende del problema que estemos examinando en cada momento; lo que quiero poner de manifiesto una vez más es la versatilidad de la mecánica newtoniana, que puede expresarse con muchas magnitudes diferentes con las mismas raíces teóricas alimentándolas.
Ya simplemente por jugar, podemos incluso expresar la conservación de la cantidad de movimiento en términos de impulso: como recordarás, la cantidad de movimiento del Universo entero se mantiene siempre constante, como vimos al hablar del principio de acción y reacción. Puesto que el impulso mecánico es la variación de esa cantidad de movimiento, ese principio de conservación podría expresarse así:
El impulso mecánico sobre el Universo es nulo.Sin embargo, aunque el impulso mecánico es interesante en sí mismo –y muy útil, por ejemplo, para estudiar choques entre partículas–, mi objetivo principal no es hablar de él, sino empezar con él para mostrarte cómo es posible juguetear con los conceptos y ser creativo (¿creativo en ciencia? ¡menuda idea peregrina!) para mirar el Universo con ojos diferentes. En este caso hemos multiplicado fuerza por tiempo, pero ¿y si probamos otra cosa?
Trabajo mecánico
Uno de los nuevos conceptos derivados de las magnitudes newtonianas surgió en la primera mitad del siglo XIX, cuando la Termodinámica empezaba a surgir como una ciencia como Dios manda. La nueva disciplina estudiaba cosas diferentes, como la temperatura, el calor y las máquinas térmicas, pero es imposible entender cómo funcionan esas máquinas sin la mecánica newtoniana: pistones que empujan cosas, ruedas que se mueven, etc. Por otro lado, estudiar máquinas y sistemas termodinámicos empleando sólo la mecánica newtoniana existente hasta entonces es imposible, de modo que el desarrollo de la Termodinámica, aunque fuera de rebote, proporcionó un nuevo impulso a la Mecánica, creando conceptos nuevos y mut útiles.En mi opinión, de los conceptos introducidos en esta etapa, uno merece una atención especial, ya que revolucionó la Física. La razón es que la mayor parte de las magnitudes físicas son propias de una disciplina u otra –la aceleración, por ejemplo, de la Mecánica, la temperatura de la Termodinámica, etc.–, pero los físicos del XIX, según desarrollaban la Termodinánmica, dieron con una especie de “Piedra Rosetta” de la Física, una magnitud que entrelazaba todas las ramas de esa ciencia e incluso de otras, con lo que permitía relacionar fenómenos hasta entonces estudiados sólo desde un punto de vista: la energía –que no es posible entender sin el trabajo, por cierto, de ahí que empecemos por él–.
Uno de los físicos involucrados en el desarrollo temprano de la Termodinámica fue el francés Gaspard-Gustave de Coriolis. Aunque sea recordado fundamentalmente por el efecto que lleva su nombre, Coriolis realizó importantes avances en otros campos de la Física. Hacia 1820 se dedicaba a estudiar el rendimiento de máquinas hidráulicas y térmicas, y en las ecuaciones que obtenía se repetía un producto, el de una fuerza por la distancia que algo se desplazaba: de modo que Coriolis definió un nuevo concepto a partir de ambas (el producto de fuerza por distancia), al que denominó trabajo. Como puedes ver, es algo parecido al impulso en el sentido de que se deriva de la fuerza con una “información adicional”, pero en este caso no se trata del tiempo que actúa la fuerza sino de la distancia.
Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843).
Como pasa tantas veces, de no haber sido Coriolis, otros hubieran llegado a la misma conclusión y, de hecho, seguramente llegaron independientemente a ella casi al mismo tiempo. Sabemos que otro francés, Nicolas Léonard Sadi Carnot –uno de los padres de la Termodinámica– utilizó el mismo concepto, que denominó potencia motriz y que definió como el producto del peso de algo por la altura hasta la que se eleva ese algo; Carnot lo hizo en el contexto de bombas de agua que elevan líquido, pero puedes ver que el concepto es el mismo, ya que el peso es una fuerza y la altura es una distancia, aunque esta definición sea más restringida que la de Coriolis.
Una definición moderna, suponiendo como siempre que la fuerza es constante, es la siguiente:
El trabajo mecánico realizado por una fuerza sobre un objeto es igual al producto de la fuerza por la distancia recorrida por el objeto en la dirección de la fuerza.
¡Ojo! La fuerza no tiene por qué ser la causa del desplazamiento
En el trabajo aparecen dos magnitudes: la fuerza y la distancia recorrida. Eso hace que nuestro cerebro, a menudo, asocie las dos como causa-consecuencia, y pensemos que el trabajo es el producto de la fuerza por la distancia recorrida a causa de esa fuerza, suponiendo que la fuerza está empujando el cuerpo y causando el desplazamiento. Y eso es mentira.
Es posible calcular el trabajo que realiza cada fuerza que sufre un objeto, ya que puede haber muchas fuerzas actuando sobre él; sin embargo, la distancia que recorre un objeto es la que es, sólo hay una (que se verá influida, como hemos visto ya, por la fuerza neta que actúa sobre él, la suma de todas las fuerzas).
De modo que es posible, por ejemplo, calcular el trabajo que realizan los frenos de un coche al detenerlo según avanza. Evidentemente, la distancia que recorre el coche no es una consecuencia de la fuerza que hacen los frenos, ni mucho menos. Fuerza y distancia recorrida no tienen por qué ser causa-consecuencia por más que nuestra cabeza intente encontrar un enlace directo entre ellas.
Esta definición tiene una sutileza en la que tenemos que pararnos un momento: eso de “en la dirección de la fuerza”. Estrictamente hablando, esa parte se debe a la trigonometría, pero siendo éste un bloque introductorio no vamos a meter senos ni cosenos en ninguna parte, sino que describiremos las cosas de forma cualitativa y gráfica.En el trabajo aparecen dos magnitudes: la fuerza y la distancia recorrida. Eso hace que nuestro cerebro, a menudo, asocie las dos como causa-consecuencia, y pensemos que el trabajo es el producto de la fuerza por la distancia recorrida a causa de esa fuerza, suponiendo que la fuerza está empujando el cuerpo y causando el desplazamiento. Y eso es mentira.
Es posible calcular el trabajo que realiza cada fuerza que sufre un objeto, ya que puede haber muchas fuerzas actuando sobre él; sin embargo, la distancia que recorre un objeto es la que es, sólo hay una (que se verá influida, como hemos visto ya, por la fuerza neta que actúa sobre él, la suma de todas las fuerzas).
De modo que es posible, por ejemplo, calcular el trabajo que realizan los frenos de un coche al detenerlo según avanza. Evidentemente, la distancia que recorre el coche no es una consecuencia de la fuerza que hacen los frenos, ni mucho menos. Fuerza y distancia recorrida no tienen por qué ser causa-consecuencia por más que nuestra cabeza intente encontrar un enlace directo entre ellas.
En la definición de trabajo se multiplican la distancia y la fuerza, pero no “enteras”, sino sólo en la medida en la que son paralelas. La razón de esto la verás algo más abajo, cuando hablemos del signo del trabajo; por ahora quiero que comprendas cómo determinar ese “en la dirección de la fuerza”. Técnicamente, podríamos decir que se trata de la fuerza por la componente de la distancia paralela a esa fuerza (o lo que es lo mismo, la distancia por la componente de la fuerza paralela a la distancia).
Recuerda que la fuerza, como el desplazamiento, es un vector: no sólo tiene una intensidad, sino también una dirección y un sentido, que son fundamentales para el cálculo del trabajo. Dicho mal y pronto, para el trabajo sólo cuenta la parte de la fuerza que va “a favor” o “en contra” del desplazamiento. Pero creo que lo mejor es ver esto con un ejemplo.
Definiciones más rigurosas
El objetivo de este bloque introductorio es exactamente ése: servir de introducción cualitativa a los diferentes conceptos, algo mucho más importante que saber ninguna fórmula. Esto no significa, sin embargo, que si sabes mas Matemáticas tengas que quedarte sin conocer las sutilezas sobre las que pasamos de puntillas, al menos no siempre (si no conoces conceptos como el producto escalar de vectores o las integrales, leer este cuadro no va a aclararte nada, por cierto).
En primer lugar, esto de la “parte paralela” entre fuerza y distancia no es más que un producto escalar de fuerza y desplazamiento, es decir, el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman –que es quien tiene en cuenta la dirección relativa entre ambos–.
En segundo lugar, estamos suponiendo siempre (tanto en el caso del impulso como en el del trabajo) una fuerza constante; de no serlo, utilizaríamos una definición algo más complicada, pero no mucho: la integral de la fuerza respecto al tiempo o la integral de la fuerza respecto al desplazamiento respectivamente.
Naturalmente, hacer eso no es más que realizar una infinidad de minúsculas sumas del producto de fuerza por diferencial de tiempo o de desplazamiento en cada caso, con lo que, conceptualmente hablando, es lo mismo que estamos diciendo en este artículo. En otros más avanzados trabajaremos matemáticamente como debe hacerse, pero eso será tras algún bloque intermedio de cálculo.
Imagina que un objeto, por las razones que sean, se está moviendo hacia la derecha en el papel una distancia de 10 metros. Imagina también que una de las fuerzas que actúan sobre el objeto es la que se muestra en la figura, y que tiene una intensidad de 6 newtons:El objetivo de este bloque introductorio es exactamente ése: servir de introducción cualitativa a los diferentes conceptos, algo mucho más importante que saber ninguna fórmula. Esto no significa, sin embargo, que si sabes mas Matemáticas tengas que quedarte sin conocer las sutilezas sobre las que pasamos de puntillas, al menos no siempre (si no conoces conceptos como el producto escalar de vectores o las integrales, leer este cuadro no va a aclararte nada, por cierto).
En primer lugar, esto de la “parte paralela” entre fuerza y distancia no es más que un producto escalar de fuerza y desplazamiento, es decir, el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman –que es quien tiene en cuenta la dirección relativa entre ambos–.
En segundo lugar, estamos suponiendo siempre (tanto en el caso del impulso como en el del trabajo) una fuerza constante; de no serlo, utilizaríamos una definición algo más complicada, pero no mucho: la integral de la fuerza respecto al tiempo o la integral de la fuerza respecto al desplazamiento respectivamente.
Naturalmente, hacer eso no es más que realizar una infinidad de minúsculas sumas del producto de fuerza por diferencial de tiempo o de desplazamiento en cada caso, con lo que, conceptualmente hablando, es lo mismo que estamos diciendo en este artículo. En otros más avanzados trabajaremos matemáticamente como debe hacerse, pero eso será tras algún bloque intermedio de cálculo.
El trabajo que realiza esa fuerza sobre el objeto no es de 80 N·m, ya que la definición de trabajo tiene esa coletilla de “en la dirección de la fuerza”, o dicho de un modo que me gusta más aunque no sea el oficial, “en la medida en que son paralelas fuerza y distancia”.
La coletilla significa que sólo tenemos en cuenta la parte de la distancia que va en la dirección de la fuerza:
Como digo, aquí no vamos a realizar cálculos trigonométricos, pero aplicando la trigonometría puedes ver que esa componente de la distancia sobre la dirección de la fuerza es la mitad de la distancia total, es decir, 5 metros. Por lo tanto, el trabajo es de 8 newtons a lo largo de 5 metros, o 40 N·m. Ahora bien, podríamos hacer el mismo cálculo del modo contrario –que, como veremos luego, me parece más intuitivo y útil–: en vez de proyectar la dirección de la distancia sobre la de la fuerza, podemos proyecta la fuerza sobre la distancia:
El segmento que resulta, si te molestas en calcularlo, es de la misma proporción que antes, es decir, justo la mitad de la fuerza total, es decir, 4 newtons. Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza es de 4 newtons a lo largo de 10 metros, es decir, 40 N·m (el mismo resultado de antes, por supuesto).
Lo importante, lo veas del modo que lo veas –fuerza sobre distancia o distancia sobre fuerza– es que el trabajo es el producto de sus “partes paralelas”, no de los valores totales. Esto significa, naturalmente, que una fuerza de la misma intensidad ejercida en direcciones diferentes sobre un objeto que se mueve puede producir trabajos muy diferentes, ya que las componentes paralelas pueden cambiar muchísimo, lo cual es exactamente la razón de que el trabajo se defina así.
De hecho, permite que, si has entendido los dibujos de arriba, te dé una definición alternativa de trabajo, una definición de andar por casa, extraoficial y terrible, que negaré haber mencionado si alguien me lo pregunta alguna vez:
El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es el producto de la parte de la fuerza que va a favor del movimiento del cuerpo por la distancia recorrida por el cuerpo.Este asunto de las direcciones relativas de fuerza y distancia es tan fundamental que le dedicaremos un epígrafe en un momento para explorar todas las posibilidades que existen para unos valores fijos de fuerza y distancia; antes, sin embargo, hablemos de las unidades de la magnitud que acabamos de definir, como siempre hacemos.
Unidades del trabajo – El julio
Como dijimos antes, en el caso del impulso –que se utiliza bastante menos que el trabajo– las unidades obtenidas (N·s) no han merecido nombre propio. Sin embargo, el trabajo y las magnitudes asociadas a él, como energía y calor, están por todas partes, de modo que en este caso los newtons por metro sí reciben un nombre propio: el julio.Un julio (J) es el trabajo realizado por una fuerza constante de un newton en un desplazamiento de un metro en la dirección y sentido de la fuerza.
James Prescott Joule (1818-1889).
El nombre es en honor a James Prescott Joule (de ahí que eĺ símbolo sea una mayúscula), otro de los físicos del XIX responsables de la madurez de la Termodinámica como ciencia. Entre muchas otras cosas, Joule logró precisamente algo que hemos mencionado antes: demostrar el hecho de que los fenómenos térmicos y los mecánicos tienen una relación íntima que puede describirse mediante una magnitud abstracta pero universal: la energía. Puesto que, como veremos, la energía y el trabajo son hermanos y se miden con las mismas unidades, la comunidad científica consideró adecuado honrar así al bueno de James.
Al igual que sucedía con el impulso, creo que a estas alturas no hace falta que dedique mucho tiempo a dar una idea de “cuánto es” un julio. Un newton es la fuerza necesaria para sostener algo de 0,1 kg de masa, y un metro es una distancia bastante corta. Para hacerte a la idea de la magnitud de un julio, lo mejor es precisamente realizar un trabajo de un julio. Para ello, toma un objeto de unos cien gramos de masa y levántalo suavemente un metro con la mano — acabas de realizar un julio de trabajo. No es mucho, ¿verdad?
De ahí que sea muy común, al aplicar la Mecánica a problemas de la vida real, utilizar múltiplos del julio como, por ejemplo, el megajulio (MJ), equivalente a un millón de julios. En cualquier caso, cuando hablemos de energía y sus tipos daremos más ejemplos concretos que, espero, te serán de ayuda para asimilar la magnitud de un julio. Por ahora, con tener claro que es un trabajo minúsculo basta.
Direcciones relativas y signo del trabajo
Como dije antes, el asunto de la dirección relativa fuerza-distancia es crucial en esto del trabajo. Para comprender por qué y ver algunos detalles interesantes de todo esto, imaginemos algunos casos extremos, porque es como más se aprende de forma cualitativa.En primer lugar, ¿en qué casos el trabajo será nulo? Si comprendiste la definición, existen tres posibilidades, que en orden de más a menos evidentes son:
- Que la fuerza sea nula. Si no hacemos una fuerza, no hay trabajo de esa fuerza.
- Que el desplazamiento sea nulo. Si un objeto no se mueve, por más fuerza que hagamos no hay trabajo de esa fuerza.
- Que la fuerza y el desplazamiento sean perpendiculares. En ese caso, la componente “paralela” de ambas es siempre nula y no hay trabajo de esa fuerza.
Para comprender la tercera, que es la más sutil, supongamos que un objeto se mueve como el del ejemplo de arriba, diez metros hacia la derecha, y que realizamos una fuerza de ocho newtons sobre él, pero podemos elegir en qué dirección ejercer esa fuerza. Para los puristas, sí, al modificar la dirección de nuestra fuerza se modificaría la dirección del movimiento y su magnitud, pero supongamos que las demás fuerzas también cambian para que, al final, el movimiento del objeto sea siempre de diez metros hacia la derecha.
Imaginemos que la fuerza se ejerce perpendicularmente a la distancia que se mueve el objeto. ¿Cómo será el trabajo realizado por la fuerza?
En este caso, hagamos lo que hagamos –proyectar la parte paralela de la fuerza sobre la distancia o al revés– obtenemos un simple punto, ya que no hay tal “parte paralela”, pues ambas son perpendiculares:
Por lo tanto, el trabajo es nulo. Esto es aún más contrario a la intuición si tenemos en la cabeza lo de “trabajo” como “me cuesta trabajo”, ya que como puedes ver es posible realizar una fuerza sobre un objeto que se mueve y, sin embargo, no realizar trabajo sobre él. Pero creo que, si comprendiste la definición, esto debería estar superado.
Veamos que sucede en otro caso extremo, en el que ejercemos la fuerza exactamente en la misma dirección que el desplazamiento del cuerpo:
El trabajo, ahora sí, es el simple producto de la fuerza por la distancia, ya que en este caso son paralelas con lo que no hace falta proyectar nada; son 80 N·m, es decir, 80 julios. De hecho, como puedes comprender, con esta distancia recorrida y esta fuerza de ocho newtons, el máximo trabajo que podemos obtener es precisamente éste: es imposible realizar más de ochenta julios, ya que no puede tenerse una fuerza idéntica más “a favor de la distancia” que paralela.
Sin embargo, hagamos justo lo contrario: supongamos que ejercemos la fuerza exactamente en contra del desplazamiento:
Una vez más, la parte paralela de la fuerza sobre la distancia es la propia fuerza, pero hacia atrás respecto a la distancia. Matemáticamente, esto se representa haciendo de esa parte paralela, en vez de ocho newtons, menos ocho newtons, con signo negativo. El signo negativo significa, por lo tanto, que la fuerza no va a favor sino en contra del desplazamiento. Por lo tanto, en este caso el trabajo es de menos ochenta julios. Y creo que verás que no es posible un trabajo menor que ése, ya que más en contra que exactamente en contra del desplazamiento no es posible ejercer una fuerza.
Por lo tanto, con una distancia de diez metros y una fuerza de ochenta julios, elijamos la dirección de la fuerza que nos apetezca elegir, el trabajo realizado por esa fuerza va a encontrarse en algún punto entre -80 J y 80 J, ambos inclusive. Vamos entonces con el párrafo más importante de todo el artículo:
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, no va a favor ni en contra del movimiento del objeto y el trabajo será nulo. En cualquier dirección más o menos “hacia atrás” respecto al desplazamiento, el trabajo será negativo, hasta un mínimo de -80 julios si la fuerza se opone diametralmente a la distancia. En cualquier dirección más o menos “a favor” respecto al desplazamiento, el trabajo será positivo, tanto más cuanto más paralelos sean los vectores, hasta un máximo de 80 J cuando tengan exactamente la misma dirección.
El siguiente diagrama trata de resumir todos los casos posibles y creo que, si lo asimilas, el trabajo será pan comido para ti. He representado en negro la dirección de las fuerzas que no realizan trabajo sobre el objeto, en rojo las que realizan trabajo negativo y en verde las que realizan trabajo positivo. No he representado números, pero el trabajo se irá acercando a 80 julios cuanto más horizontal sea la fuerza “hacia delante” y se acercará a -80 julios cuanto más horizontal sea la fuerza “hacia atrás”:
Como puedes ver, hay una diferencia fundamental entre las dos mitades simétricas del dibujo. En cualquiera de los casos de color verde, estamos favoreciendo el movimiento del objeto y, seguramente, haciendo que acabe moviéndose más deprisa, mientras que en los casos de color rojo el objeto acabará moviéndose más despacio pues estamos dificultando su movimiento. En los casos en negro, sin embargo, no hacemos ni una cosa ni otra; podremos lograr que el objeto gire y cambie de dirección, pero no que vaya más deprisa ni más despacio que antes.
Desde el principio, los físicos como Carnot o Coriolis se dieron cuenta de que había algo más detrás de esto: cuando una máquina realizaba trabajo positivo sobre algún objeto, haciendo que se moviera más deprisa, no podía hacerlo indefinidamente. Era como si algo “se gastara” en la máquina; sin embargo, cuando una máquina realizaba trabajo negativo sobre algo terminaba con “algo más” que antes. Finalmente, si una máquina no realizaba trabajo, por ejemplo, por ejercer una fuerza perpendicular a un desplazamiento, o por no haber desplazamiento, solía poder hacerlo indefinidamente.
Dicho con otras palabras, era como si las cosas tuvieran un “depósito” del que sacar trabajo, y al realizar trabajo positivo el depósito se iba “vaciando”. Inevitablemente, dado que los físicos del XIX no usaban expresiones tan patéticas como “vaciando” y “como si algo se gastara”, definieron una magnitud que representara exactamente esa capacidad de realizar trabajo de una máquina o cualquier otro sistema: la energía. Y a ella dedicaremos los siguientes artículos.
Ideas clave
Para afrontar los siguientes artículos con garantías, deben haberte quedado claros los siguientes conceptos:- El impulso de una fuerza es el producto de la fuerza por el tiempo que actúa.
- El impulso se mide en newtons por segundos (N·s).
- El trabajo de una fuerza sobre un objeto es igual al producto de la fuerza por la distancia recorrida por el objeto en la dirección de la fuerza.
- La unidad del trabajo es el julio (J). Un julio es el trabajo realizado por una fuerza de un newton sobre un objeto que se mueve un metro en la dirección de la fuerza.
- Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
- Cuando la fuerza es, al menos en parte, a favor del desplazamiento, el trabajo es positivo (tanto más positivo cuando más a favor).
- Cuando la fuerza es, al menos en parte, en contra del desplazamiento, el trabajo es negativo (tanto más negativo cuanto más en contra).
Hasta la próxima…
Para recordar conceptos, recuperemos un desafío de hace un par de artículos y sigamos realizando cálculos simples con él. En este caso, como en la aparición original del desafío, además de calcular podrás hacerte una idea aproximada de la magnitud de los trabajos de la vida real, en este caso, de un coche.Desafío 6 – Ferrari Testarossa (II)
En un desafío anterior hablamos sobre un Ferrari Testarossa de 1 500 kg que aceleraba de 0 a 30 m/s en 5 segundos. En la solución vimos que la fuerza ejercida por el motor –suponiendo que no existen otras fuerzas, lo cual es mucho suponer, pero bueno– vimos que era de 9 000 N.
Continuemos con los mismos datos. En la aceleración que hemos descrito, el Ferrari recorrería 75 metros. Como primera pregunta, ¿qué trabajo habrá realizado el motor del coche?
Como segunda parte cualitativa, ¿cuándo realiza el motor de un coche un trabajo negativo? ¿qué otras partes del coche realizan trabajos negativos?
En un desafío anterior hablamos sobre un Ferrari Testarossa de 1 500 kg que aceleraba de 0 a 30 m/s en 5 segundos. En la solución vimos que la fuerza ejercida por el motor –suponiendo que no existen otras fuerzas, lo cual es mucho suponer, pero bueno– vimos que era de 9 000 N.
Continuemos con los mismos datos. En la aceleración que hemos descrito, el Ferrari recorrería 75 metros. Como primera pregunta, ¿qué trabajo habrá realizado el motor del coche?
Como segunda parte cualitativa, ¿cuándo realiza el motor de un coche un trabajo negativo? ¿qué otras partes del coche realizan trabajos negativos?
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