Las ecuaciones de Maxwell – Ley de Faraday

{ 2011 10 26 }

Las ecuaciones de Maxwell – Ley de Faraday

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En esta mini-serie sobre las ecuaciones de Maxwell, tras la introducción histórica, hemos explorado ya juntos las primeras dos ecuaciones: la ley de Gauss para el campo eléctrico y la ley de Gauss para el campo magnético. Si no has leído los artículos anteriores, te recomiendo encarecidamente que lo hagas antes de continuar con éste, porque en gran parte explicaré conceptos nuevos en contraposición a lo que vimos allí.
No voy a repetir de nuevo lo que afirmaban las dos ecuaciones anteriores como principios físicos, pero sí quiero poner de manifiesto lo que tenían en común. A veces las ecuaciones de Maxwell se nos embrollan en la cabeza, y es más fácil recordar lo que significan agrupándolas dependiendo de qué cosas las diferencian o las asemejan. Y, como veremos hoy, es muy fácil dividir las cuatro en dos parejas –las dos que hemos visto hasta ahora y las dos que nos quedan por ver–.
Las dos leyes de Gauss que hemos visto definían características del campo eléctrico y el campo magnético de manera independiente. En ningún caso se mezclaban ambos — los propios nombres así lo reflejan. Si sólo existiesen estos dos principios físicos, el campo eléctrico y el magnético serían conceptos completamente independientes; sin embargo, no lo son en absoluto, como empezaremos a ver hoy. Ahí está la gran diferencia entre las dos ecuaciones que veremos y las dos que hemos visto ya: en las dos que nos quedan se mezclan ambos campos.

Esto las hace más complejas que las dos primeras, pero también más interesantes. Es en estas dos ecuaciones donde el genio de Maxwell se muestra en todo su esplendor, como veremos en este artículo y el siguiente. Pero lo primero, como siempre, es escribir la ecuación que estudiaremos hoy, la ley de Faraday, a veces llamada ley de inducción de Faraday o ecuación de Maxwell-Faraday –en un momento veremos por qué incluir a James aquí–. Al igual que en artículos anteriores, la iremos despiezando y espero que, al final, la mires como a una vieja amiga:

Eso sí, antes de desgranarla, quiero hablar sobre su origen experimental, al que debe su nombre. Como recordarás de la introducción, Maxwell desarrolló sus ecuaciones formalizando principios físicos que habían sido, en su mayor parte, establecidos por otros científicos. Ya dijimos entonces que sin el genio de Michael Faraday probablemente no hubiéramos disfrutado del de Maxwell, al menos en toda su extensión. No en vano Faraday era uno de los héroes del joven James Clerk Maxwell a pesar de la falta de preparación formal del primero.
Porque, aunque no fuera un matemático experto, Faraday era un experimentador de primera, y su intuición física era fenomenal. Aunque no fue él el primero en darse cuenta de la relación entre electricidad y magnetismo –fue Hans Christian Ørsted en 1821, y de eso hablaremos en la próxima entrada–, sus experimentos en electromagnetismo fueron de tal calidad que nos proporcionaron una enorme cantidad de conocimiento sobre el problema. Además, a pesar de sus lagunas matemáticas, Faraday expresó las conclusiones de sus experimentos con tal lucidez que permitió a Maxwell –que sí era genial en matemáticas– enunciar los principios subyacentes de un modo muy eficaz.

Michael Faraday (1791-1867).
En lo que nos ocupa hoy, tras los descubrimientos de Ørsted y otros, muchos científicos se dedicaron a realizar experimentos que conectasen electricidad y magnetismo, Faraday incluido. Ørsted había demostrado que una corriente eléctrica producía a su alrededor un campo magnético, pero ¿era posible lo contrario? ¿Podía un campo magnético producir fenómenos eléctricos? La respuesta la dieron, de manera independiente y casi a la vez, el estadounidense Joseph Henry y el británico Michael Faraday — pero Faraday publicó sus resultados antes, y de ahí el nombre de la ecuación de hoy.
En uno de sus experimentos, en 1831, Faraday enrolló un cable conectado a una pila alrededor de un anillo de hierro. Gracias a Ørsted y la cuarta ecuación, de la que hablaremos en el futuro, se conocía ya el hecho de que la corriente eléctrica del cable generaba un campo magnético, de modo que el anillo de hierro se convertía en un imán. Hasta aquí, todo conocido; sin embargo, el inglés enrolló un segundo cable en el otro lado del anillo, un cable sin pila. La idea era simple: si una corriente eléctrica generaba un campo magnético, tal vez un campo magnético generaría una corriente eléctrica.

Experimento de Faraday (InverseHypercube/dominio público).
De modo que Faraday puso un detector en el segundo cable, el que no tenía pila alguna, y encendió el primer circuito conectado a la pila. Sin embargo, no sucedió lo que podría parecer evidente: cuando la pila estaba encendida y por tanto había un campo magnético, el segundo cable no mostraba corriente alguna. La situación era exactamente igual con la pila encendida que con la pila apagada. Pero, ¡ah!, algo inesperado sí sucedía: justo en el momento de encender el primer circuito o apagarlo, aparecía una corriente eléctrica en el segundo circuito.
Lo extraño era que no era la existencia de un campo magnético lo que inducía una corriente en el circuito sin pila: era la variación del campo magnético la que generaba corriente. Además, y esto era también curioso, cuando se encendía el circuito, la corriente en el segundo circuito iba en un sentido, pero al apagarlo, la corriente iba en sentido contrario. En ambos casos se detectaba corriente durante un tiempo muy corto: el que duraba la transición apagado-encendido y viceversa. Eran los cambios, y no la mera existencia de campo magnético, los que causaban la aparición de corriente.
De modo que Michael Faraday enunció un principio que hablaba exclusivamente de cables y circuitos, y el ruso Heinrich Lenz lo refinó añadiendo el sentido de la corriente. Ese principio sigue utilizándose hoy, con apenas cambios, pero Maxwell fue capaz de extrapolarlo como una ley ajena a circuitos y corrientes, una ley matemática que servía para casos diferentes y que, como veremos en el futuro, tiene consecuencias que Faraday imaginó pero nunca pudo demostrar. La ecuación de hoy lleva, por tanto, el nombre de Faraday, ya que es la expresión matemática del principio descubierto por el inglés: la influencia de un campo magnético cambiante sobre la electricidad, pero la forma que utilizamos es más abstracta que la enunciada por el bueno de Michael.
La versión de Maxwell-Heaviside (porque fue el segundo quien escribió la forma moderna de la ecuación) es, como las otras, bellísima por lo conciso de su expresión y lo profundo de sus consecuencias. Una vez más, una especie de haiku físico, que repito aquí para empezar a masticarlo:

De modo que, como en ocasiones anteriores, respiremos profundo y ataquemos las matemáticas del asunto.
Aunque una vez más, como puedes ver, aparece nuestro viejo conocido, el operador nabla, en este caso no se trata de la divergencia, sino de algo diferente. Puedes verlo porque en el caso de la divergencia teníamos ∇·E, mientras que ahora tenemos ∇xE. Se trata de cosas matemáticamente distintas pero, en lo que a nosotros importa ahora mismo, la diferencia es que el primer caso indicaba la divergencia del campo, mientras que el segundo (con la equis) se indica una operación distinta de la divergencia, el rotacional del campo.
El concepto de rotacional es similar al de divergencia en el sentido de que proporciona información acerca del campo vectorial, pero se trata de una información diferente y algo más difícil de visualizar. Como hicimos con la divergencia, hagámoslo con un campo vectorial más cercano a los sentidos que el eléctrico: el flujo de agua en una bañera. Como recordarás, en ese contexto la divergencia nos decía dónde había “grifos” de agua y dónde “desagües”, es decir, de dónde salía y por dónde escapaba el agua de la región que estábamos estudiando.
Si llamamos, como hicimos entonces, V a la velocidad del agua en cada punto, ∇xV nos proporciona una nueva información, que intentaré describir primero en una frase para luego ver ejemplos, que es como mejor se ven las cosas. Dicho fatal, ∇xV nos da una idea de la turbulencia del agua en ese punto; dicho un poco menos mal, indica hacia dónde y cómo de rápido giraría una pelota sumergida en ese punto de la bañera.
Para ir asimilando el concepto, veamos el caso más sencillo posible: imaginemos el flujo de agua más regular y suave posible. Supongamos que en cierta parte de la bañera, toda el agua se mueve a la vez, a la misma velocidad y en la misma dirección (afortunadamente para todos, las ilustraciones de este artículo son de Geli y no mías):

Si ponemos una pelota microscópica en cualquier punto del agua, ¿se pondrá a girar la pelota? Y, si gira, ¿hacia dónde lo hará y cómo de rápido? Eso es lo que significa el rotacional en esta analogía (de hecho, rotacional viene de rotación y no por casualidad). De modo que pensemos juntos, y tratemos de responder a esas preguntas. Desde luego, hace falta cierta imaginación para visualizar la pelotita en el agua, pero creo que es posible hacerlo y llegar a conclusiones razonables sin problemas.
Creo que resulta claro que, en el dibujo de arriba, la pelota no rota. Desde luego, será empujada por el agua y se irá con la corriente, pero no girará sobre sí misma. Por lo tanto, no hace falta que respondamos a la segunda pregunta, y la conclusión respecto al rotacional es clara: en la figura de arriba, excepto en los bordes (luego hablamos de bordes), ∇xV = 0:

Pero veamos un segundo ejemplo algo más complejo. Supongamos que en un momento determinado hemos hecho que el agua se mueva en sentidos contrarios en las dos mitades de la bañera, por ejemplo así (se representa cada mitad en un color para ayudar a ver la frontera entre las dos regiones, el agua es igual):

Si ponemos la pelota en cualquier punto de la región izquierda, pasará lo mismo de antes, y si la ponemos en la región derecha, ídem de lienzo, pero ¿qué pasa si la ponemos justo en el borde entre ambos flujos de agua? ¡Ah, ahí la cosa cambia! La pelota recibe agua en un sentido por su izquierda, y agua en sentido contrario por su derecha, de modo que –si no es absolutamente lisa, y en nuestra analogía no lo es porque lo digo yo– la pelota girará. En esa línea de frontera entre ambas regiones, el rotacional no es cero. De modo que aquí sí, podemos decir si gira mucho o poco y hacia dónde.
En nuestro ejemplo, la pelota girará tanto más deprisa cuanto mayor sea la corriente a ambos lados –no tenemos que preocuparnos por cuantificar esto–, y lo hará en el sentido que se muestra abajo y que, creo, es bastante intuitivo si te lo imaginas:

De modo que arriba estás viendo un ejemplo claro en el que ∇xV ≠0. Matemáticamente, para representar ese sentido de giro, en vez de hacer un montón de flechitas girando como aparecen arriba, se utiliza un único vector que va en la dirección del eje de giro y en el sentido en el que avanzaría un tornillo que gira como nuestra pelota:

Claro, si no tienes mucha experiencia con tornillos –o tapas de rosca, o grifos–, tal vez no veas la relación entre el giro y la flecha con claridad, pero basta con que cojas un frasco con tapa de rosca y gires la tapa en un sentido: verás que la tapa “avanza” en la dirección de la flecha de arriba. No es más que una forma concisa y nada ambigua de representar la dirección de cualquier giro en Física.
Naturalmente, el campo eléctrico no es agua fluyendo, luego ∇xV no representa el giro de ninguna pelota, pero imaginarlo así puede ayudarte a visualizar lo que le sucede al campo en un punto determinado. La parte izquierda de la ecuación de Faraday-Maxwell, por tanto, no es más que el rotacional del campo eléctrico, su “turbulencia” en un punto determinado, que nos indica el giro de la pelotita imaginaria si el campo fuera agua. Sí, ya lo sé, una abstracción sobre otra abstracción sobre… pero así son las cosas. ¿Qué hay de la parte derecha?

Dicho “en fino”, es la derivada parcial respecto al tiempo de algo. Dicho en cristiano, representa el ritmo de cambio de ese algo. es, por lo tanto, el ritmo de cambio del campo magnético. Si es cero, es que el campo magnético no cambia en el tiempo. Si es pequeño, es que el cambio es gradual y suave, y si es grande indica que es un cambio muy violento; además, puesto que B es un vector con dirección, también lo es: tiene la dirección de cambio del campo magnético.
Por ejemplo, supongamos que el campo magnético va hacia la derecha y vale siempre lo mismo: entonces, = 0. Si va hacia la derecha y cada vez se hace más grande, está “cambiando hacia la derecha”, luego irá hacia la derecha –y será tanto mayor cuanto más violento es el crecimiento–, mientras que si el campo se hace más pequeño, estará “cambiando hacia la izquierda”, luego irá hacia la izquierda y será tanto mayor cuanto más violento sea el decrecimiento.
De manera que la parte derecha de la ley de Faraday, -, es la rapidez de cambio en el campo magnético pero va justo en contra de ese cambio, de ahí el signo menos delante. Por lo tanto, si te fijas en la ecuación en su conjunto, verás que dice algo así, olvidando por un momento las direcciones de los vectores –y expresado de manera tan terrible que alguno rechinará los dientes, pero yo me quedo tan ancho–: la “turbulencia” en el campo eléctrico en un punto determinado depende de lo violento de la variación del campo magnético en ese punto.
Observa los conceptos mezclados a izquierda y derecha: por un lado, el campo eléctrico y por el otro, el campo magnético. ¡Interdependencia entre ambos! Por un lado, la geometría de un campo –el rotacional–, por otro lado, el cambio temporal de un campo –la derivada respecto al tiempo–. La geometría del campo eléctrico depende del cambio del campo magnético en el tiempo.
Pero vayamos un poco más allá, fijándonos ahora en la dirección de las cosas y no sólo en su magnitud. Como ves en la ecuación, la dirección del rotacional del campo eléctrico es justo la contraria (por el signo menos) de la dirección en la que cambia el campo magnético. Para imaginar toda la escena basta hacer lo siguiente: ver hacia dónde cambia el campo magnético e imaginar un tornillo justo en sentido contrario. El tornillo gira como lo haría una pelota colocada en ese punto –como siempre, si el campo eléctrico fuera agua fluyendo–:

Observa que aquí ya no puedo dibujar el “flujo de agua” alrededor de la pelota, porque no lo conocemos. Antes nos inventamos el flujo de agua: conocido el flujo de agua, dedujimos la dirección de rotación de la pelota, porque sólo puede ser de una manera. Pero ahora estamos haciendo lo contrario — conocemos el giro de la pelota. ¿Podemos conocer el flujo de agua? La respuesta es que no exactamente, porque muchos posibles flujos de agua harían girar nuestra pelota de esta manera. Por eso las ecuaciones de Maxwell son varias: la estructura exacta del campo eléctrico depende de otras ecuaciones, no sólo ésta, que nos indica una de las características de la geometría del campo, pero no nos da la información completa (o sólo haría falta una ecuación, claro).
Eso sí, hay algo que sí sabemos seguro en el dibujo de arriba: sea como sea el flujo de agua que hace girar la pelota, dado que la pelota gira (es decir, dado que el rotacional no es cero), tiene que haber agua moviéndose contra la pelota. No sabemos exactamente cómo se mueve, pero sí que se mueve, y que lo hace de un modo que hace girar la pelota. Esto puede parecer una obviedad, pero tiene consecuencias importantísimas que veremos en un momento.
La razón de la importancia del párrafo anterior es que hay algo escondido aquí que es más profundo de lo que parece. Imagina que, en un sitio determinado, en el vacío, en ausencia de cargas eléctricas de modo que no hay campo eléctrico de ningún tipo, llevamos un imán. Y, como quien no quiere la cosa, movemos ese imán de un lado a otro con la mano. La ecuación de Faraday-Maxwell nos dice que, ya que está cambiando el campo magnético (pues al mover el imán el campo aumenta en unos lugares y disminuye en otros), debe haber “turbulencias” en el campo eléctrico: una mini-pelota sensible al campo como si fuera agua debería ponerse a girar. Hasta aquí, todo normal, ¿verdad?
De modo que movemos el imán de un lado a otro, cambia el campo magnético, surge la “turbulencia” en el campo eléctrico y nuestra pelota imaginaria se pone a girar en el sentido que debe de acuerdo con la ecuación, a causa del campo eléctrico. Pero, un momento…
¿Qué campo eléctrico?
¡No había ninguno! Ésa es la profundidad de la que estoy hablando. La ecuación no exige en ningún momento que haya un campo eléctrico preexistente para que se cumpla: la ecuación representa un principio físico universal. El campo magnético variable en el tiempo es capaz de producir un campo eléctrico de la nada tal que su rotacional tenga sentido contrario al del cambio del campo magnético. Es como si hacer algo en un lugar determinado causara, de manera garantizada, una turbulencia en el agua… incluso cuando estás en un sitio en el que no hay agua, en cuyo caso aparece agua turbulenta.
“¿Cómo es posible esto tan absurdo?”, puedes estar pensando. “¿Cómo sale ese campo eléctrico de la nada?” Tengo dos cosas que decir al respecto, una corta y objetiva y otra larga y más subjetiva. La concreta es bien simple: que aparezca un campo eléctrico no es porque la ecuación de Faraday-Maxwell sea un conjuro mágico, es al revés: el campo surge de este modo, y lo hemos comprobado infinidad de veces de manera experimental. La ecuación no es más que la expresión formal de ese hecho empírico. Si te parece raro es simplemente que el Universo es raro, no es culpa de Michael ni de James.
Lo más largo que tengo que decir es bastante poco riguroso y más bien poético, pero tal vez te ayude a aceptar mejor que aparezca un campo eléctrico de la nada. Los siguientes dos párrafos no llegan siquiera a analogía, y negaré haberlos escrito con ayuda de mi abogado si hace falta.
Puedes imaginar el vacío, no como “nada”, sino como una especie de océano perfectamente transparente en absoluta calma –algo parecido al éter de los antiguos–. Cuando está en esta calma absoluta, es imposible notar su presencia. Sin embargo, ese océano puede oscilar con olas que sí podemos notar; existen dos tipos de olas: las que “suben y bajan”, y las que van a “izquierda y derecha” (poco importan las direcciones). A las oscilaciones arriba y abajo las llamamos “campo eléctrico”, y a las oscilaciones a izquierda y derecha, “campo magnético”.
Ni un campo ni otro son “cosas”, ni aparecen “de la nada”: son la expresión de la oscilación de ese océano invisible que es el vacío y la manera en la que podemos notar su presencia. Al perturbarlo con un campo magnético variable, podemos crear en él una turbulencia que se convierte en un campo eléctrico –y, como veremos más adelante, también al revés–. No aparece algo nuevo: lo que ya existía se mueve de una manera diferente.
Dejando aparte estas disquisiciones teóricas, volvamos de nuevo a lo práctico. ¿Cómo reconciliar esta forma tan abstracta de expresar el principio físico con el experimento original de Faraday? Parece más difícil de lo que es en realidad. Para empezar, cuando el circuito original está apagado o encendido, el anillo de hierro está imantado con un campo magnético constante. Nada cambia en el campo magnético luego, tanto en un caso como en otro –apagado o encendido–, = 0, luego = 0. No hay “turbulencia” en el campo eléctrico.
Pero, cuando se enciende el circuito de la izquierda y se imanta el trozo de hierro, durante el cortísimo proceso de imantación en el que se pasa de ausencia de campo magnético a presencia de campo magnético, no es nulo. Por lo tanto, aparece un que tampoco es nulo (y que va justo en contra del anterior). Sí, antes no había campo eléctrico, pero ahora sí lo hay, a consecuencia de la variación en el tiempo del campo magnético.
Como consecuencia de la existencia de ese campo eléctrico, las cargas eléctricas del segundo circuito (los electrones) empiezan a moverse por el cable: se genera una corriente eléctrica. Pero claro, una vez que el trozo de hierro ya se ha imantado completamente, el campo magnético ya no varía, desaparece su efecto sobre el campo eléctrico y éste deja de existir. Las cargas se paran, y permanecen paradas mientras nada más cambie.
Al apagar el primer circuito, pasa lo mismo pero al revés: el campo magnético desciende hasta anularse y, mientras lo hace, aparece un rotacional del campo eléctrico justo en contra del anterior, y esto hace que los electrones del cable se muevan justo al revés que antes. Una vez el trozo de hierro ya no es un imán, ya que es otra vez cero, deja de haber movimiento en el cable por la ausencia de campo eléctrico.
Aunque no es el objetivo de este artículo –que ya es demasiado largo– explorar las consecuencias prácticas de este principio físico, no es difícil imaginar su utilidad: para generar una corriente eléctrica no hace falta más que un cable, sin pila ni nada parecido, y un imán; al mover el imán cerca del cable, produce un y las cargas del cable se mueven: ¡hemos producido una corriente eléctrica simplemente moviendo el imán! El problema, claro, es que en cuanto dejamos de mover el imán, desaparece el efecto.
La solución es moverlo todo el rato: por ejemplo, uniendo los imanes a una rueda y haciendo que la rueda gire constantemente. El propio Faraday ya pensó en esto (así de inteligente era), y hoy en día empleamos este principio para producir prácticamente toda la corriente eléctrica que utilizamos. La diferencia entre unos sistemas y otros de generación de corriente suele estar en cómo conseguimos que gire la rueda (con agua, vapor muy caliente, viento, etc.).

Sala de turbinas de la central hidroeléctrica de Los Nihuiles, Argentina (dominio público).
El caso es que, dicho todo esto, podemos volver a mirar a la ecuación de Maxwell-Faraday y, espero, lanzar una pequeña sonrisa de afecto hacia ella, sus misterios ya no tan misteriosos:

Existe, por cierto, una versión alternativa que considera la posible existencia de carga magnética, como mencionamos en el artículo anterior, pero esa carga magnética aparece de un modo que explicaremos en la siguiente entrada, de modo que hablaremos de la versión “modificada” entonces.
En la próxima entrega, la cuarta ecuación, la ley de Ampère.

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