Habíamos presentado esta serie, en donde ya hablamos la concepción filosófica del tiempo desarrollada por los primeros hombres, que describía procesos Cíclicos que se repetirían hasta el infinito pero, como vimos, que sea infinito no implica necesariamente que se trate de algo Eterno, lo cual fue primeramente interpretado como argumento de la inexistencia del tiempo. (Si te gustan los acertijos, paradojas, contradicciones, enigmas del infinito, curiosidades, etc., no te puedes perder este artículo).
Hoy continuaremos explorando otras argumentaciones que intentaron demostrar que eso que nos es tan familiar, que damos por hecho y no discutimos su existencia, puede en realidad no ser cierto. Hablaremos de las Paradojas de Zenón, que pretendieron demostrar, a través de lógica, que tanto el movimiento como el transcurrir del tiempo, son puras apariencias ficticias, aberraciones de nuestros sentidos, que no existen realmente, y que están llenas de contradicciones.
Uno de los discípulos de Parménides fue Zenón de Elea, nacido aprox. por 490 a.C. Zenón recibió gran influencia de su maestro, pero no le bastaron sus ideas para conjeturar que el mundo cambiante y en constante devenir que estás contemplando ahora no es más que una ilusión; y creía fervientemente que había encontrado las herramientas lógicas para probarlo, a través de la reducción al absurdo.
Como la mayoría de los presocráticos, no se conservan escritos de este filósofo, pero conocemos su obra gracias a las alusiones que hicieron Platón, Aristóteles y Simplicio, entre otros.
La primera paradoja o aporía que analizaremos es una de las más conocidas, llamada Paradoja de Aquiles y la tortuga. En ella se cuenta que Aquiles, un veloz corredor, decide competir en una carrera contra una tortuga. Convencido de su triunfo, Aquiles –ubicado en el punto A- le da una ventaja inicial al animal –ubicado en el punto B-.
¡Comienza la carrera! En poco tiempo, Aquiles llega hasta el punto B, pero se da cuenta que la tortuga ya no está ahí, sino que ha avanzado un poco, hacia un punto C. (Permíteme exagerar un poco en las imágenes, para que se pueda entender)
Así que, decidido a ganar, Aquiles corre y rápidamente llega al punto C. Pero en ese momento, se observa que el animal ya no está ahí, sino que ha avanzado muy lentamente, pero ha avanzado al fin, un pequeño tramo hasta un punto D.
De esta forma, cuando el corredor llegue al punto D, la tortuga habrá nuevamente avanzado una pequeñísima longitud hasta un punto E; cuando llegue al E, habrá avanzado hacia un punto F, y así sucesivamente, infinitas veces. Por mucho que acelere Aquiles, cuando llegue a donde estaba la tortuga, ésta mantendrá cierta ventaja, aunque vaya disminuyendo en cada vez más, nunca llegaría a cero, ya que se necesitarían infinitas etapas, y para ralizar una tarea de infinitas etapas, se necesitaría un tiempo infinito. Por lo tanto el más lento nunca será alcanzado por el más rápido: ¡Aquiles nunca ganará! Zenón concluye, de tal forma, que aceptar la existencia del movimiento, es decir la relación entre espacio y tiempo, implica aceptar esta contradicción que nunca se ha visto en la realidad.
Pero, como probablemente has conjeturado, esta anécdota esconde un perspicaz error en el razonamiento de Zenón. Antes de ir a eso, tenemos que analizar primero, otra paradoja propuesta también por este filósofo.
En esta ocasión, pretende demostrar que Aquiles tampoco alcanzará a la tortuga, pero no porque ésta lleve la ventaja, sino porque ¡Aquiles nunca podría ni siquiera moverse! Se plantea de la siguiente forma: Para recorrer el trecho que los separa, Aquiles primero debe recorrer la mitad de esa distancia, pero para recorrer esa mitad, necesita primero recorrer la mitad de esa mitad, es decir, un cuarto del trayecto. Sin embargo, para avanzar sobre ese cuarto del trayecto total, primero debe recorrer la mitad de ese pedazo, lo que es igual a un octavo del tramo hasta la tortuga.
Por ejemplo, (si ya lo entendiste salta al párrafo siguiente) para atravesar esos 2 metros, primero debe recorrer 1, sin embargo para completar ese metro debe antes recorrer 0.5 m., pero entonces, necesita primero completar 0.25 m…
Para recorrer ese octavo, precisa primero recorrer un dieciseisavo, y así sucesivamente, infinitas veces. De esta forma llegamos al mismo resultado que en la aporía anterior. Pero la conclusión que ahora extrae Zenón, es que Aquiles nunca llegará a moverse -porque para hacerlo, primero tendrá que recorrer la mitad, la mitad de la mitad, etc. y como son infinitos pasos, parece lógico imposible realizarlos-, el movimiento es una ilusión. Y si nuestros sentidos indican que evidentemente sí es posible, es porque nos engañan, tal como plantea la filosofía de Parménides de la que hablamos antes.
Ten en cuenta que, en la época en que fueron postuladas, estas conjeturas fueron extraordinariamente revolucionarias, y causaron asombro y perplejidad hasta en los más intelectuales griegos. Obviamente, hoy día podemos hacer algunas críticas, ya que se basan de premisas que pueden demostrarse erróneas. Para empezar, estas paradojas se establecen sobre la idea de que el tiempo y el espacio, son infinitamente divisibles. (Esta concepción de que todo es infinitamente divisible reinó, hasta la aparición de los primeros atomicistas como Demócrito) Y por otro lado que la suma de esos infinitos “trozos” de espacio y tiempo es, por tanto, infinita.
Gracias al Cálculo Infinitesimal, desarrollado simultánea e independientemente por Newton y Leibniz en el siglo XVII, sabemos que la suma de una serie de infinitos números, pude converger, es decir que puede tener un límite. En otras palabras, la suma de infinitos números puede dar como resultado un valor finito. No quiero aburrir con fórmulas matemáticas, pero en el caso de la paradoja anterior, la suma de esa sucesión de mitades, es decir 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… da como resultado, exactamente 1. Es decir, que dividiendo el trayecto en mitades y mitades de mitades, etc., infinitas veces, su suma es sorprendentemente el valor del total del recorrido. De un caso similar ya habló Pedro en su artículo sobre la Lámpara de Thomson.
Por otro lado, como dijimos, las aporías mencionadas aceptan que el tiempo y el espacio, son infinitamente divisibles. En la actualidad, algunas teorías cuánticas predicen que el espacio y el tiempo podrían estar cuantificados en unidades discretas. Un genio llamado Planck desarrolló por 1899, a partir de unas pocas constantes físicas, los valores que tendrían esas unidades elementales y universales, que hoy se conocen como Unidades de Planck (de las que también cierta vez mencionó Pedro).
Por ejemplo, a través de una hermosísima y sencilla ecuación que involucra las constantes G, h y c, obtuvo el denominado Tiempo de Planck (aprox. 5.39124(27) × 10−44 segundos) que, en teoría, es el intervalo más corto de tiempo que se pueda medir en nuestro Universo. Es decir, que sería imposible medir o percibir de cualquier manera, alguna diferencia en el Universo en un intervalo de tiempo menor a ése. (Actualmente esta teoría está en debate).
Así que, conjeturando que el espacio y el tiempo no son infinitamente divisibles, podríamos desmentir las ingeniosas paradojas propuestas por Zenón. ¡Pero aguarda!, porque a este filósofo todavía le quedan dos ases bajo la manga. Increíblemente, Zenón se adelantó casi veinticuatro siglos, y llegó a la conclusión de que esa cuantificación también presentaba una profunda contradicción.
Se la conoce como la Paradoja de la Flecha y consiste en lo siguiente: consideramos que algo se haya en reposo, cuando ocupa un volumen de espacio igual a sus propias dimensiones -al estar el espacio cuantificado, un objeto encaja perfectamente-. Supongamos que el movimiento fuera posible y que un arquero lanza una flecha. Si tomamos un instante irreductible de tiempo –por ejemplo un tiempo de Planck-, la flecha no tendrá tiempo para moverse, es decir, se encontrará en reposo, ya que ocupa el mismo espacio que sus dimensiones. Y por esta misma razón, la flecha estará en reposo durante todos los períodos siguientes.
Zenón concluye nuevamente, aunque partiendo de una base contraria a las anteriores, que el movimiento es imposible. No creas que en su época, nadie le discutía ni mucho menos. Por ejemplo Diógenes de Sinope, al escuchar que el movimiento era imposible, se levantó y, orgulloso, afirmó: “el movimiento se demuestra andando”, lo que pudo producir algún efecto cómico que desprestigiase la imagen de Zenón. Pero argumentativamente Diógenes no había demostrado nada, puesto que Zenón decía que el movimiento era una ilusión aparente, y ése otro no habría hecho más que ofrecer una apariencia más…
Hasta Aristóteles, más tarde cuestionaría este razonamiento, argumentando que si el tiempo no está compuesto por ‘instantes’ o por ‘ahoras’, sino que es un continuo, “la conclusión no valdrá”. Por otro lado, hay que tener en cuenta que el movimiento es justamente la relación entre un intervalo de espacio y un intervalo de tiempo, por lo que si tomamos un ‘instante‘, éste no contiene tiempo alguno, no nos sirve; y además el ‘reposo’ también es la relación entre el espacio y un intervalo de tiempo, así que sólo conociendo un ‘instante’, no podemos saber la velocidad de nada, es decir si algo está en ‘reposo’ o no.
Pero, insatisfecho y persistente, el filósofo de Elea propuso otra demostración más, en la que aludía que el tiempo contradice nuestra intuición sobre el movimiento. Ésta se conoce como la Paradoja del Estadio o de las Filas y se plantea así: supongamos que en un estadio, hay tres filas paralelas de soldados, como muestra la imagen siguiente.
La fila de los soldados “X” se mantendrá estática. Mientras que la fila de los “Y” se desplazará hacia la izquierda y la fila de los “Z”, hacia la derecha. Terminarán llegando exactamente a mismo tiempo, como muestra la siguiente ilustración.
Aquí parece que no hay nada anormal, y que todo está bien. Pero lo que Zenón extrae de esto es que la fila “Y” se movió dos lugares con respecto a “X”, y por otro lado los “Z” se desplazaron cuatro lugares con relación a los “Y” en el mismo tiempo. Es decir que, puesto que la longitud de las filas es idéntica, la velocidad de la fila “Z” es el doble que el de la fila “Y”. Pero si los “Y” se desplazaron cuatro lugares con respecto a los “Z”, y éstos también se movieron cuatro lugares, significa que sus velocidades son idénticas, ¿cómo es posible que no lo sean, al mismo tiempo? ¡¿Acaso poseen dos velocidades distintas simultáneamente?! En conclusión, el filósofo afirmaba que aceptar al movimiento implica aceptar que la mitad de un tiempo, es igual al total del mismo, una fatalidad total. Como decir 2 = 4.
¡No grites, por favor!, ya sé que si lees esto te dan ganas de arrancarte los pelos, pero sabe que, en la época en que fue postulado, causó furor en todas partes. Para empezar, la premisa que se intenta contradecir, es que un cuerpo se mueve con igual velocidad, en el mismo tiempo, tanto a lo largo de un cuerpo en movimiento como lo largo del que está en ‘reposo’. Como sabes, esto es falso, ya que está comparando la velocidad de un objeto, desde dos sistemas de referencia distintos: obviamente las velocidades medidas pueden lógicamente no ser iguales.
Si no caíste, me ofrezco a darte un ejemplo; si ya lo entendiste pasa al párrafo siguiente. Supongamos estás en un vehículo “A”, conduciendo a 40 Km/h en dirección al norte. Es decir, que estás moviéndote a esa velocidad con relación a un coche estacionado. Supongamos ahora, que se acerca otro vehículo “B” a 20 Km/h, también en relación a alguien estacionado, pero en dirección al sur. Cuando pase por al lado tuyo ¿A qué velocidad lo verás pasar? La respuesta es 60 km/h, porque al ser contrarias las direcciones, a ti te parece que viene más rápido. Es decir, que desde tu punto de vista va a 60 km/h, pero desde el punto de vista de alguien que está estacionado va a 20 km/h. En el caso ideal, ¿Quién tiene razón? Los dos.
Es sorprendente que, estas aparentes “paradojas” -aunque fueran erróneas-, fueron las primeras huellas que predecirían el desarrollo de tanto el Cálculo Infinitesimal, como de las Leyes del Movimiento de Newton y hasta la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein y la Mecánica Cuántica –aunque parezca un poco exagerado-. (Por cierto, si no entendiste en el párrafo anterior por qué “los dos tienen razón”, te recomiendo leer “Relatividad sin Fórmulas”, una de las mejores y entretenidas series de Pedro, o bien adquirir su Librito).
Al final, en este artículo terminamos hablando más de matemática y física que de filosofía en sí. Sin embargo, no quiero que dejes pasar por alto, la gran calidad, ingenio filosófico y sobre todo coraje que Zenón tuvo, para “desmentir” lo “indesmentible”, para “negar” lo “innegable”, y en definitiva, para hacernos reflexionar a vos y a mi.
Porque… puede que tal vez, Zenón y Parménides -al igual que Einstein, como veremos más adelante- estén en lo cierto, y que el transcurrir del tiempo, no sea más que una insignificante y absurda ilusión…
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