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El Tamiz : Cuántica sin fórmulas - Estados y valores propios

Hace unos días hablamos acerca del concepto de estado cuántico, dentro de la serie Cuántica sin fórmulas. Hoy continuaremos empapándonos de la “cuántica moderna” elaborando un poco más las ideas esbozadas entonces pero, una vez más, sin alargar demasiado el artículo de modo que haya una idea central que –espero– quede clara sin liarla con otras.

Como recordarás de aquel artículo, utilizamos el ejemplo de una moneda dentro de una caja. Si entendiste las ideas que se definieron entonces y los razonamientos que realizamos juntos, sabes que antes de abrir la caja la moneda puede tener infinitos estados posibles. Sin embargo, terminamos aquel artículo diciendo que existen algunos estados “especiales”: después de abrir la caja y mirar la moneda, ésta sólo puede mostrar una de dos posibilidades, cara o cruz. Hoy hablaremos acerca de estos “estados especiales”.

A lo largo de la entrada de hoy voy a utilizar expresiones sin rigor y simplificar conceptos de forma abyecta. Los posibles efectos secundarios a físicos y matemáticos incluyen sudoración inguinal, irritación en las meninges e hipotermia talámica; El Tamiz no se hace responsable de ninguno de ellos — si empiezas a notar cualquiera de esos síntomas, mejor lees otra cosa.

En primer lugar, definamos lo que suele llamarse un observable. Como hemos dicho en anteriores ocasiones (al hablar de la función de onda en particular y, recientemente, de los estados cuánticos en general), un estado cuántico contiene la información sobre un sistema. Ese sistema es algo que podemos observar, es decir, que contiene determinadas variables que se pueden medir de alguna manera; el estado cuántico nos permite predecir la probabilidad de medir unos valores u otros de esas variables.

Bien, cada una de esas variables que podemos medir se denomina observable. Un estado cuántico sin observables sería un objeto matemático sin relación con la realidad: recuerda que, aunque utilicemos conceptos abstractos, el fin último de la física cuántica es predecir el comportamiento de sistemas físicos del Universo real. Si nuestro estado cuántico no permite predecir ninguna medición de nada, entonces puede ser divertido hablar sobre él, pero no es física. Como mínimo, un sistema debe poseer al menos un observable (aunque prácticamente todos tienen muchos observables).

En nuestro ejemplo de la moneda, al ser tan simple como pude hacerlo, el sistema tiene un único observable, la “cara” que muestra la moneda. Desgraciadamente, la palabra “cara” en este contexto es ambigua, porque la moneda puede mostrar cara o cruz al mirarla, de modo que espero que estés de acuerdo conmigo en darle otro nombre a la magnitud observable: digamos que es el lado de la moneda. Nuestro observable lado, al medirlo, puede tener dos valores, cara y cruz.

Observar la moneda significa por lo tanto, en nuestro argot de estados cuánticos, medir el valor del único observable, el lado de la moneda. En el caso de un sistema físico real, como podría ser un electrón dentro de un pozo infinito, puede haber varios observables, como la posición del electrón, su energía, su momento lineal, etc., y podemos medir uno de ellos o varios a la vez (muchas veces, como ya vimos, con límites en la precisión de unos u otros de acuerdo con el principio de indeterminación).

Si comprendiste el significado de un estado cuántico debería resultarte evidente que, en el momento de observar la moneda, el estado cuántico cambia. De hecho, en el caso de la moneda, una vez que la observamos ésta sólo puede encontrarse en uno de estos dos estados, $\left | cara \right \rangle$ o $\left | cruz \right \rangle$ , que se corresponden con los dos posibles valores del único observable del sistema, el lado que muestra la moneda. Sin embargo, antes de mirar la moneda el estado podía haber sido otro de muchos, como dijimos en la entrada anterior.

Es esencial entonces que comprendas que, en el mundo real, existen dos razones por las que el estado cuántico cambia al observar el sistema; quiero hacer énfasis en esto porque, en nuestro ejemplo de la moneda, sólo se pone de manifiesto la primera razón, pero en la realidad entran en juego las dos:

En primer lugar, puesto que el estado representa la información que tenemos del sistema, al observar el sistema la información de que disponemos cambia, con lo que el estado también lo hace.
En segundo lugar –aunque esto no suceda en la moneda– la observación del sistema requiere necesariamente una interacción con él, lo que inevitablemente lo modifica de alguna manera.

La segunda razón es la que, como ya mencionamos al hablar del principio de indeterminación, suele llamarse efecto del observador y es muy comúnmente mostrada como la causa del principio de indeterminación; recuerda que esto no es cierto, y que además del efecto del observador el principio de indeterminación se debe a la naturaleza dual de la materia, que hace que muchas variables del sistema aparezcan “a pares”, como la posición y el momento lineal, que no pueden medirse con precisión simultáneamente.

Evidentemente, en el caso de la moneda esto no sucede porque hemos simplificado tanto las cosas que sólo existe un observable: podemos medirlo con precisión absoluta (es decir, conocer exactamente si el valor del lado es cara o es cruz) sin afectar a ningún otro observable… porque no existe ningún otro. Simplemente quiero recordarte el principio de indeterminación para que este ejemplo no te haga olvidar que el proceso de observación tiene sus límites en los sistemas reales.

La cuestión es que existen casos en los que el estado antes y después de mirar la moneda es el mismo. Por ejemplo, imagina que nuestro admirado Paul Dirac se lleva la caja con la moneda y nos dice que va a coger la moneda con la mano y la va a colocar cuidadosamente dentro de la caja de modo que muestre cruz. Luego cierra la caja y nos la entrega.

Ya sé que en el mundo real tendríamos que tener en cuenta que Paul Dirac puede mentirnos, pero en nuestro “mundo simplista de la moneda” no: ¡es Paul Dirac, y siempre dice la verdad! De modo que, en este caso especial, el estado de la moneda antes de mirarla es $\left | cruz \right \rangle$ , y si abrimos la caja y miramos la moneda, veremos ¡oh, sorpresa! que muestra cruz: su estado sigue siendo entonces $\left | cruz \right \rangle$ . En este caso particular (al igual que hubiera sucedido si supiéramos que la moneda mostraba cara) el estado no cambia durante la observación.

Es más: ni siquiera nos hace falta una observación, ya que nosotros (o, en este caso, Dirac) hemos preparado el sistema de modo que el observable tenga, seguro, uno de los valores que podemos medir. Pero lo importante de todo esto es que sólo podemos lograrlo en dos situaciones fijas: cuando la moneda está en los estados $\left | cara \right \rangle$ o $\left | cruz \right \rangle$ , que se corresponden con los dos valores posibles del observable lado. Estos dos estados son, por lo tanto, especiales — no cambian al medir el observable asociado a ellos y se corresponden con valores concretos del observable (en este caso, cara y cruz).

En el argot cuántico estos valores del observable se denominan autovalores, valores propios o eigenvalores (por el alemán de “propio”), y los estados correspondientes se llaman autoestados, estados propios o eigenestados. Como se leen por ahí unos nombres u otros, intentaré alternarlos durante los artículos para que se te queden en la cabeza las tres versiones.

Recapitulemos, pues (lo siento si soy repetitivo, pero es importante que esto quede muy claro): de los infinitos estados que puede tener nuestra moneda antes de la observación, existen dos que son especiales, los dos estados propios de la moneda, $\left | cara \right \rangle$ y $\left | cruz \right \rangle$ . Cuando la moneda está en uno de estos estados (lo cual requiere que hayamos preparado las cosas cuidadosamente para que así sea), al observarla su estado no cambia, y el valor que medimos del observable lado es cara o es cruz, los dos autovalores del sistema, correspondientes a los dos autoestados anteriores.

Pero, además del hecho de que se corresponden con los valores posibles de un observable, los estados propios tienen otra propiedad muy importante, aunque sea una consecuencia de la primera. Esta segunda propiedad parece una solemne estupidez al principio, pero nos será muy útil para hablar, en la siguiente entrega de la serie, de todos los estados de la moneda que no son autoestados.

Esta segunda “estúpida propiedad”, dicho mal y pronto, es la siguiente: los autoestados son completamente incompatibles entre sí tras una medición. Sé que esto suena raro al principio, pero deja que explique a lo que me refiero con “incompatibles”.

Imagina dos estados cualesquiera de la moneda que no sean los dos eigenestados (uno de ellos puede serlo, pero no los dos). Por ejemplo, pensemos en dos estados que manejamos en el artículo anterior, $\left | cara \right \rangle$ y $\left | agitada \right \rangle$ . Supón que tú tienes una moneda en una caja, y yo tengo otra. Tu moneda es $\left | cara \right \rangle$ , la mía es $\left | agitada \right \rangle$ . Sin mirar dentro de las cajas, te pregunto: ¿es posible que, tras mirar las monedas, ambas estén en el mismo estado?

Si has entendido algo de estos dos artículos, tu respuesta debería ser un rotundo “Sí”. Cuando miremos las monedas, la tuya va a estar sin duda alguna en el estado propio en el que estaba, $\left | cara \right \rangle$ . No sabemos en cuál de los dos autoestados va a estar la mía, pero es posible que también sea $\left | cara \right \rangle$ , con lo que los estados iniciales de nuestras dos monedas no eran incompatibles.

Supongamos que tu moneda es $\left | agitada \right \rangle$ y la mía sigue el proceso que describimos en el artículo anterior — Dirac se lleva la caja, la agita y, si muestra cruz, vuelve a agitarla de nuevo; llamemos al estado de mi moneda $\left | agitada/cara \right \rangle$ , simplemente para mostrar que se favorece el que al final salga “cara”.

Ambos estados son una vez más, de acuerdo con nuestra particular definición de “compatible” estados compatibles: es perfectamente posible que, al mirar nuestras dos monedas, las dos muestren el mismo estado (que puede ser, en este caso, tanto $\left | cara \right \rangle$ como $\left | cruz \right \rangle$ ).

Sin embargo, los eigenestados no pueden ser jamás compatibles. Si tu moneda está en $\left | cara \right \rangle$ y la mía en $\left | cruz \right \rangle$ , es absoluta y totalmente imposible (y fíjate en lo extremo de esta afirmación en física cuántica) que se encuentren en el mismo estado cuando las miremos. Y esta tontería proporciona a los autoestados una potencia tremebunda para describir estados que no lo son — aunque de eso hablaremos en la entrada próxima.

En la notación de Dirac existe una forma poderosa, simple y elegante (como no podría ser de otro modo, viniendo de Dirac) de expresar este concepto de compatibilidad. Si has estudiado cálculo vectorial en algún momento, no deberías tener ningún problema en comprender el concepto. La compatibilidad entre dos estados $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ puede expresarse simplemente como $\left \langle a | b \right \rangle$ , y su valor determina lo compatibles (o incompatibles) que son ambos estados.

En primer lugar, observa que hemos “cambiado de lado” los paréntesis de $\left | a \right \rangle$ ; a efectos de esta simplista serie, nos da igual escribir un estado con el paréntesis a un lado o a otro, pero los estados escritos como hemos hecho hasta ahora se denominan kets (que podríamos traducir como tesis) y los estados escritos “al revés” se denominan bras (algo así como paren). Sé que esto suena algo triste, pero cuando escribes los dos estados juntos de ese modo, como $\left \langle a | b \right \rangle$ , escribes un bra-ket (parecido a un bracket en inglés), o un paren-tesis… al completar el “paréntesis” de los símbolos $\left \langle \right \rangle$ . Como digo, sé que no es tan ingenioso como pretende ser, pero así son las cosas.

En segundo lugar, aunque $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ son dos estados cuánticos, el bra-ket $\left \langle a | b \right \rangle$ es un número. Y el valor de ese número nos indica si $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ son completamente incompatibles, si son más o menos compatibles o si se trata del mismo estado cuántico. Veamos cada caso con cuidado, porque utilizaremos esto en la próxima entrada sin ningún rubor.

Si $\left \langle a | b \right \rangle = 0$ eso quiere decir que los estados son incompatibles. De modo que, si quieres dártelas de intelectual, en vez de decir “una moneda no puede mostrar cara y cruz a la vez” podrías decir simplemente “ $\left \langle cara | cruz \right \rangle = 0$ “.

Si $\left \langle a | b \right \rangle = 1$ eso quiere decir que los dos estados son realmente el mismo estado. Puedes pensar en ese 1 como “100% de compatibilidad, es decir, son la misma cosa”, mientras que el 0 anterior es “0% de compatibilidad, no tienen nada que ver”. Aunque parezca raro, es posible tener dos estados que parecen diferentes pero que, si miras con cuidado, resultan ser el mismo. La manera más fácil de verlo es comprobando la compatibilidad de ambos estados — si es 1, es que se trata realmente del mismo estado. Por cierto, si eres físico y te muerdes las uñas, sí, supongo que los estados están normalizados y tampoco voy a meterme en números complejos.

Finalmente, es posible que $\left \langle a | b \right \rangle$ no sea 0 ni 1. En general (por razones que ni vienen al caso ni nos interesan ahora mismo) se trata de un número complejo, pero cuanto mayor sea su módulo, es decir, más parecido a 1 –ya que 1 es el máximo de compatibilidad–, más parecidos son los dos estados, y cuando más similar a 0 sea, más incompatibles son los dos estados.

Si no conoces cálculo vectorial, sáltate este párrafo; si lo has estudiado en algún momento, puede ayudarte a entender lo anterior:

Como veremos en la próxima entrada, los estados cuánticos pueden expresarse como vectores unitarios, y el bra-ket $\left \langle a | b \right \rangle$ es el producto escalar o producto interno de ambos. Al igual que en los vectores de toda la vida, si el producto escalar es nulo, los vectores son perpendiculares (en nuestra jerga de hoy, “incompatibles”); si el producto es 1 es que tienen la misma dirección y sentido, es decir, son el mismo vector (pues suponemos que ambos son unitarios), y en cualquier otro caso no son ni una cosa ni la otra, pero cuanto más parecido a 1 sea el producto escalar, más pequeño es el ángulo que forman los dos vectores.

Por ejemplo, supón que tu moneda está en $\left | cara \right \rangle$ . Dirac se lleva mi caja y la agita; mira la moneda y, si muestra cara, la deja como está, pero si es cruz, agita la caja de nuevo; a continuación mira la moneda y, si es cara, la deja como está, pero si es cruz agita la caja… y realiza ese proceso cien veces, de modo que la probabilidad de que mi moneda, cuando la miremos, muestre cara es casi del 100%. Llamemos al estado de mi moneda $\left | agitada/cara/cien/veces \right \rangle$ .

Sin entrar en cálculos matemáticos, creo que puedes ver que el producto de nuestros dos estados, $\left \langle cara | agitada/cara/cien/veces \right \rangle$ , aunque no es 1 (porque tu estado y el mío no son iguales, ya que existe la posibilidad de que mi moneda muestre cruz cuando la miremos aunque sea una probabilidad muy pequeña), es casi, casi, casi 1: supongamos que su módulo es 0,99.

Como puedes ver, el valor de $\left \langle a | b \right \rangle$ es de gran utilidad para comprobar cuánto tienen que ver los dos estados entre sí; y, en términos de esta notación, si $\left | a \right \rangle$ y $\left | b \right \rangle$ son dos autoestados del sistema, podemos estar completamente seguros de que $\left \langle a | b \right \rangle = 0$ .

En términos de andar por casa, los autoestados son completamente incompatibles — en términos vectoriales (y esto tendrá gran importancia en el próximo artículo) los autoestados son siempre perpendiculares entre sí.

Pero ¿qué hay de todos los demás estados que no son autoestados? ¿Cómo podemos calcular $\left \langle agitada | agitada/cara/cien/veces \right \rangle$ ? ¿Es que vamos a tener que inventarnos nombrecitos para todos los infinitos estados posibles del sistema, como $\left | agitada/pero/un/poquito \right \rangle$ , $\left | agitada/cara/cincuenta/veces \right \rangle$ o $\left | agitada/cruz/luego/cara \right \rangle$ ? En la próxima entrada de la serie veremos cómo la “estúpida propiedad” de los autoestados, el hecho de ser incompatibles, nos hace las cosas muy fáciles para describir cualquier otro estado del sistema. Hablaremos de superposiciones cuánticas.